谈谈不等式证明中的_联想_猜测_证明.pdf

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1、,。28中等数学“”谈谈不等式证明中的联想一猜测一证明张增群,十任R)XZ+yZ+22=(一t)2在不等式的证明中学生会遇到一些有3t(t有。鲁趣的问题一22=2例.x工O,xZ,x;十xZ=卜(一2、)十(+3L)+14七1若>>O且衬X工xZ吕七答则、琴).k一42等2kxl=+,xZ=水L证设t一,x’+y“+z“我们看到的值是随着七的增大而增大,当=o,x=y=zt时即时达一12t_(0成<犬。rZ切、k、-又.王U扭汉,J1且一k一2t)(一、)石x:x:=(十些有。、、,2例4若AB

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3、x,+-,证设上则同理可证Xlx;“一,十=.BC一一2Zbyxk05In毛簇/(2)2侧be因x,=yZ一4k0.y成任R有△)解得一2,,x;+x:snC了k(舍去)或y)2了k即i(3)2侧ab)2侧k.三式相乘即得这里,x:十x:的值是随着k的增大而增.5insin一C281。xl十xZ=一x,一xZ“鑫旦大的又从杯4k()镇22,x;=x:=、/k,x:+xZ得当时达到极小当。in=。snB一2B一一CZ2鱼一n2.不难想到值了k2.x+y十z=,x“十yZ十225例3若k则口曰沪厂门

4、日A2B一2一C艺=in一‘n时一一粤时~kZ6合于.乡3·‘“—到极大值(这一点,,,我们不妨先证令X=一‘y=一2七豁去一号镇誓。承认它)1984年第二期,上面几题尽管各题的条件和结论各不。此式两边开次方即得高中数学第三册,:函。相同但有一个共同的特点数中的变量第63页的推论例l及例2只不过是这个结论“对称”,。都是出现的并且当这些变量都相的特例而已例3及例4的情况又如何呢?,“”。等时函数的值都达到极值。请读者思考,对此学生自然产生这样的联想和猜学:生可能会产生这样的联想与猜测从:、、,测

5、是不是这类问题都有这种规律?会不会例123的证明过程中已经看到了它们,。有例外呢?我们说一般是这样的但对每,:.、、。kZ_Z,.,~、“一k,一一,,。的极值是侧而看不出例一结论都要证明否则就不可靠现在我专乐专1的“推广”:n,,们选择例来证明若个正数的4的极值是1/8若题目不给出1/8怎么_、,、、_二,」,、,,、_,_一_~_。__k,“_”·能知道呢?和等于k则这个正数的积必不大于‘’言:,。我们可以这样来解决这个问题为此我们先证下面的引理、。、二饰,_,__,_n:a、、c、a。。、

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8、xZ一,xx十:.x,+x:镇⋯x二撬茄但=二二,·nSn一:;·从而得到‘‘+⋯+x。+x爪二x+x:+“+x二+合鲁号管合誓x.*,一x十;一k一m撬匕k-,.·一。镇Ifl而不飞in号合x1xZx。/k”由归纳假设有⋯、In+,“”(1)那么这一规律是否可靠呢?请看,x:x:⋯x二*:镇x,x。⋯x。‘。所以下例k,/k扔·一二兰-一。o<月+<百十.若。<<粤<署—m1从m11Z艺,,x:x:。成(互由¹º知)⋯、11,。参闰《上海数学竟赛讲座》舒五昌文’3。’中等数学一一-一一一-