四色猜测的手工证明

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1、四色猜测的手工证明雷明（二○○年十月二十七日）摘要：总结了历史上证明四色猜测的经验教训，用图论的方法不对任何一个图进行着色，就可用手工方法证明了四色猜测是正确的，同时也得到了图的其他着色的色数的界。关键词：四色问题（四色猜测）着色色数顶独立集顶独立集数最小完全同态最小完全同态的顶点数同化（联边凝缩）最大团图的密度饱和道路不可同化道路图值函数线色数全色数对偶图圈轮1、历史上证明四色猜测的经验教训1852年由法郎西斯首先的出（他后来也成为的名数学教授，任教于开普敦的南非大学。一直活到1899年，但他对他提出的问题却没有任何建树。）187

2、9年坎泊第一个给出了一个证明，但这个证明有缺陷。坎泊首先证明了任何地图中至少存在着一个区划的相邻区划数小于等于5，也证明了任何地图中不存在五个以上（包括五外）区划两两均相邻的情况。这与平面图中至少存在一个顶点的度小于等于5和平面图的密度小于等于4是等价的。这里可以看出，地图或平面图的“不可避免构形集”中的元素只是5种。坎泊证明中创造了道路上的顶点“交错着色”的方法和道路上的顶点“颜色交换”的技术。他证明了4—12轮以下构形的待着色顶点在其相邻顶点已用完了四种颜色的情况下，采用颜色交换技术，交换已交替着色的道路上各顶点的颜色，可以空出

3、已用过的四种颜色之一给待着色顶点着上；但对5—轮构形确没有证明就非常自信的“坚信”对4—轮以下构形的着色方法也同样适用于此，得出：如果一个顶点与5个其他用四种颜色着色的顶点相邻，交换已交替着色的道路中各顶点的颜色，总可以空出一种颜色给其着上。这个结论并没有错（可以用坎泊创造的方法给5—轮构形进行4—着色，见我在《数学中国》网站发表的《5—轮构形的4—着色》一文），可借坎泊就没有深入的证明。以致到十一年后的1890年，年轻的赫渥特构造了一个图，其中的5—轮不能着上他已用过的四种颜色之一而说坎泊的证明有“漏洞”，然而坎泊也不能对其进行4

4、—着色（关于赫渥特的图的4—着色，我早已着色成功，并于一九九二年三月八日在陕西省数学会第七次代表大会暨学术年会上作了学术报告，地点是在西安空军工程学院），也就承认自已“弄错了”且“改正不了这个错误”，所以就只好认输了。但赫渥特也无法改正这一“错误”，因而赫渥特就得出了一个什么“五色定理”。赫渥特研究四色问题特别投入，一生研究四色问题共六十年，直到生命的最后一息。他虽没有能直接解决四色问题，但他却得到了一个任何亏格的曲面上的地图着色公式，该公式说明：任何能嵌入亏格为n的曲面上的图（或地图）的色数γn是γn≤（n≥0），这个公式是可以通

5、过任意亏格曲面上的欧拉公式v＋f＝e＋2－2n12（式中v、e、f、n分别是曲面上图的顶点数、边数、面数和图或曲面的亏格）而严密推导出来的。对于n＝0，公式的值γn＝4，这就应该说明四色猜测是正确的，但是由于他对他构造的图（平面图）不能4—着色，所以他只得在公式后加注该公式成立的条件是（n≥0）。现在本文已证明了任何平面图的色数都不大于4，那么这个条件是不是可以改成（n＝0）了。1976年阿贝尔等人宣布所谓用电子计算机“证明”了四色猜测，这是天大的笑话，人都不能解决，计算机能解决吗，是人脑创造了计算机还是计算机创造了人脑。这些先不说

6、，只说他用了近两千个图，验来验去，但仍然没有一个图是坎泊和赫渥特都没有能4—着色的那个5—轮构形，每其名曰将其用别的构形替代了，能替代了吗，你的那个双5—轮构形中当一个顶点着上了颜色后，剩下的还不是一个5—轮构形吗。两千个构形，用了1200个机器小时，连一个最基本的构形都没有进行4—着色，那还叫什么证明嘛，不等于白下若吗，有什么用呢，猜测还是猜测，并没有被证明是正确还是错误吗。可以看出，历史上的证明，都是在给个别的图在着色，包括赫渥特和阿贝尔中间的近百年来的许多人在内。而只有坎泊一个人的证明虽然也是在着色，但其用的图还可以说具有一般

7、性，并不是个别的具体的图。由于图是无穷多的，永远也不可能着色完毕，所以猜测也就永远无法得到证明是正确还是错误。能不能不着色，就能使猜测得到证明是正确还是错误呢，我想是可以的，这就是用图论的方法证明四色猜测。122、图的着色数，图的顶独立集数，图的最小完全同态的顶点数三者之间的关系着色时图中不相邻的顶点不着同一颜色，即不相邻的顶点是可以用同一颜色的（请注意，不是所有不相邻的顶点都得用同一颜色）；图的一个顶独立集内的顶点均是不相邻的，着同一颜色是没有问题的；图的完全同态中的每一个顶点均代表着若干个不相邻的顶点，这些顶点着同一颜色也是可以

8、的。这样，就把图的着色，顶独立集，完全同态联系起来了。那么图的色数γ就应该和图的最小顶独立集数β、图的最小完全同态的顶点数α是相等的。即有γ＝β＝α（1）求出了图的最小完全同态，其顶点数α就是图的顶独立集数β和色数γ。如何求图的最小完