四色猜想的证明.doc

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1、四色猜想的证明吴道凌（广东省广州市，）摘要：四色猜想至今未得到书面证明。根据其定义的国家概念和着色要求，揭示了无限平面或球面上任意国家及其邻国的构成和着色规律，从而给四色猜想一个书面证明。关键词：四色；猜想；证明；国家；着色中图分类号：O157.5文献标识码：A1852年，英国学者弗南西斯·格思里(FrancisGuthrie)提出，“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”，这就是后来数学上著名的四色猜想。对此猜想，一百多年来曾有无数学者予以研究，但人工验证均无功而返。1976年，美国数学家阿

2、佩尔(KennethAppel)和哈肯(WolfgangHaken)利用电子计算机，作了大量判断，对四色猜想进行了机器证明，但这一证明不能由人工直接验证，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任，因此并不被人们普遍接受。本文拟根据四色猜想定义的国家概念和着色要求，研究无限平面或球面上国家的构成及其着色规律，寻找对四色猜想的书面证明。1四色猜想相关定义及表述方法四色猜想所指的国家，是指连续的区域，可为单连通区域，也可为多连通区域，不连续的区域不属一个国家。共同边界指相邻国家有无数个共同点，四个或四个以

3、上的国家不交于一点，或者说，这种交点不认为是共同边界，只有这种交点的国家不需区分着色。四色猜想并未限制地图范围，地图可定义在球面或无限平面上。在球面上的任何国家，将存在一个外边界，由一条简单闭曲线构成，在无限平面上的国家，一般也由一条简单闭曲线构成外边界，个别国家也许在某些区间不存在边界（即区域无限延伸），其外边界将由若干段曲线构成，对于这种情况，我们可在其无限远处虚拟若干个国家若干段边界，与实在的若干段边界构成一条简单闭曲线边界，这种做法实际上提高了这些国家的着色要求，因此不影响本命题的论证。如为单连通区域，国家里边将

4、不存在内边界，如为多连通区域，国家里边将存在若干由简单闭曲线构成的内边界。因此，为使命题具有普遍性，把国家定义为具有一个外边界和若干内边界的区域，每一边界均为该国与若干邻国的共同边界构成的简单闭曲线，如图1示。下面把构成一条这种共同边界闭曲线的若干邻国称为一个邻国圈。用小圆圈表示邻国，两国相邻时，用线条连接两个小圆圈，一个邻国在共同边界多处出现时，各处分别用小圆圈表示，并用线条连接各处表示连通。把一个国家表示为由其若干邻国圈构成的闭合圈围闭的区域，如图2示。其中，外闭合圈之外，一些邻国可能跨越闭合圈上的一个或多个邻国与其

5、它一个或多个邻国相邻，一些邻国也可能多处出现在闭合圈上，这些情况将使闭合圈外存在若干邻国之间的连线，同理，每个内闭合圈之内也将可能存在若干邻国之间的连线。另外，邻国里边也许包含若干小区域，两国连邻时，共有边界也许不只一段，多段共有边界之间将存在若干小区域，相当于圆圈及连线里边可能包含若干小区域，各小区域分别由若干国家组成，这些小区域并不影响对所需研究的国家及其邻国的着色讨论，因此，暂不予考虑。除了若干闭合圈围闭的阴影部分区域为所需研究的一收稿日期：2009-3-26作者简介：吴道凌，高级工程师，硕士个国家外，其它圈线围闭

6、的若干区域可以不存在其它国家，也可以存在若干国家。这里未反映国家外可能存在的不属于任何国家的区域情况，对于这种情况，我们可把这种区域也当作国家，只是，如果这种区域有不相连通的多个时，为不与本猜想命题相左，这种区域的着色可不统一。根据国家及共同边界定义，这种表示两国相邻或一国连通的连线总是不相交的。2一个国家及其邻国圈构色2.1国链及三色圈的构色及链接规律若干个国家以某种方式连接而成的构造形式简称构形，使构形相邻国家着上不同颜色的过程简称构色，最多只需三种颜色的构形简称三色构形。由若干个国家一个连接一个形成的一条区域链简称

7、国链（用L表示），除首尾两国仅与一国连接外，其余各国均与另两国连接，当构成国链的国家个数为奇数个（包括一个）时，称为奇链，为偶数个时，称为偶链。现为国链构色，自左至右，当第一个国家着色A时，第二个国家可着色B，以后逢单着色A，逢双着色B，最后一个国家，奇链可着色A，偶链可着色B。由此可见，国链可以两种颜色构色。将上述国链的首尾相接即构成闭合国链，简称国圈，国圈上各国家之间，每一国仅与另两国连接。对国圈进行构色时，两色偶链首尾着色不同，首尾相接时原来的着色即能满足要求；两色奇链首尾着色相同，不能满足国圈着色要求，但只要将首

8、尾中的一个国家改变为第三种着色，国圈即可构色。因此，最多采用三种颜色即可对国圈进行构色。以后将最多只有三种构色的国圈称为三色圈（用S表示）。国链及国圈构色示意图如图3示。将一条国链的两端国分别与一个构形的一个国家连接，或与同一个国家连接，称为链接。如果链接的是一个三色构形，国链构色时在涵盖构形可能有的三色范围内选择颜