高等数学下_复习题.pdf

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1、第九章无穷级数1.常数项无穷级数1.1正项级数审敛法：比较判别法1、比较判别法2、比值判别法（达朗贝尔判别法），根值判别法（柯西判别法）；1.2交错级数审敛法（莱布尼兹定理），绝对收敛（比值法或根值法）和条件收敛；∞判别∑an敛散性liman=0否发散n=1n→∞否是交错级数莱布尼兹判别法收敛否取绝对值化为正项级数an+1比值判别法lim∣∣=ρρ<1n→∞aρ>1n收敛发散n或根值判别法lim√∣an∣=ρn→∞ρ=1比较判别法：（p-级数、调和级数和几何级数）∞n例1级数∑ln(2n+5)是否收敛并证明n=1n解级数的一般项an=ln()，并且有liman=ln1/2≠

2、0，则级数发散。2n+5n→∞∞2例2证明级数∑收敛2n=1n+4n+3分析：比较判别法的关键在于选择一个恰当的级数（通常选择基本级数，如等比级数、调和级数和p级数）和未知的级数作比较。本例中用于比较多级数可选择p级数，其中p=2。22∞∞n+4n+321证明因为lim=2，则级数∑和∑具有相同的敛散性。又因为122n→∞n=1n+4n+3n=1n2n∞1∑收敛，则原级数收敛。2n=1n∞1例3当p取什么值时，级数∑收敛pn=2n(lnn)分析：对于某些特殊的级数，可以通过积分的方法证明其收敛性。解当n>2时，有nn111=∫dx≤∫dxpppn(lnn)n−1n(lnn)

3、n−1x(lnx)因此级数的n−1项部分和满足nn1111s=+∑≤+∫dxn−1pppp2(ln2)k=3n(lnn)2(ln2)2x(lnx)lnlnn−lnln2,p=1,1=+111p−,p≠1,2(ln2){p−1[(ln2)p−1(lnn)p−1]由上可知，当p>1时，部分和数列有界，则数列收敛。类似地有，对任意的n≥2n+1n+1111=∫dx≥∫dxpppn(lnn)nn(lnn)nx(lnx)n+1lnln(n+1)−lnln2,p=1,1sn−1≥∫pdx=1112x(lnx){p−1[p−1−p−1],p≠1,(ln2)(ln(n+1))当p≤1时，部

4、分和数列无界，则级数发散。综上可知，当p>1时，级数收敛，当p≤1时，级数发散。练习1证明下列级数发散∞∞∞nn（1）∑√2（2）∑arctann（3）∑n=1n=1n=1n+5练习2用比较法判别下列级数的收敛性∞∞11（1）∑（2）∑23n=1n+n+1n=1n+4∞∞51（3）∑（4）∑nn=12+3n=2n−√n∞∞nn+14+3（5）∑（6）∑2nn=1nn=12∞2∞2cosnn−1（7）∑（8）∑n4n=12+1n=13n+1∞2∞n+11+sinn（9）∑（10）∑3nn=2n−1n=110∞n∞2+(−1)1（11）∑（12）∑；n√n3n=1n=1√n+1

5、∞n∞n21+2（13）∑（14）∑nnn=11+3n=11+3∞∞5+2nn+2（15）∑（16）∑223n=1(1+n)n=1(n+1)∞2∞1+n+nn+5（17）∑（18）∑36372n=1√1+n+nn=1√n+n∞∞11（20）∑sin（19）∑(n)1+1/nn=1n=1n练习3用比值法判别下列级数的收敛性∞2∞21−n2n+7n（1）∑e（2）∑(1+n)3n(n2+5n−1)n=1n=1∞∞1n!（3）∑（4）∑nn=1n!n=1n练习4判别下列交错级数的收敛性∞n−1∞n−1(−1)(−1)（1）∑（2）∑n=1√nn=13n−1∞∞n3n−1n2n（3

6、）∑(−1)（4）∑(−1)2n=12n+1n=14n+1∞∞n√nnn（5）∑(−1)（6）∑(−1)n=11+2√nn=1lnn练习5判别下列级数是绝对收敛，条件收敛或发散∞2∞nn(−10)（1）∑（2）∑nn!n=12n=0∞n∞n+1n−12(−1)（3）∑(−1)（4）∑44n=1nn=0√n∞n∞(−1)nn（5）∑（6）∑(−1)4n=0nn=15+n∞∞n−1n1（7）∑(−1)（8）∑2n=1n+1n=0(2n)!∞∞n1/n−n−1e（9）∑en!（10）∑3n=1n=1n∞∞nsin4nn(−3)（11）∑（12）∑nnn=14n=14∞2n∞nn+

7、1n210（13）∑(−1)（14）∑2n+1n=1n!n=1(n+1)4∞∞n3−cosn(−1)（15）∑（16）∑2/3lnnn=1n−2n=1∞∞nn!(−1)（17）∑（18）∑nnlnnn=1nn=1∞2n∞nn+1(−1)（19）∑（20）∑(2n2+1)(arctann)nn=1n=1练习6判别下列级数是否收敛（积分法）∞∞11（1）∑（2）∑n=1n√lnnn=1nlnnlnlnn2.幂级数2.1收敛半径及其求法（系数模比值法，系数模根值法）、收敛域2.2幂级数的逐项积分和逐项求导的性质，利用这些