几种特殊性质的函数的周期.doc

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1、几种特殊性质的函数的周期：①y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；②y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数；③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；如：正弦函数⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；⑦正（余）弦型函数定义域为R，周期为T

2、，那么，对于任意，区间内有且只有两个量，满足。正切型函数则只有一个。⑧，或，或,例1．若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且，则①关于对称；②的周期为；③在（1，2）是函数（增、减）；④=，则。例2．设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上=,则=。4．函数（图象）的对称性1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题①证明函数图像对称性：即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；②证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；1）函数图象的对称性与相应函数或方程间的关

3、系①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,－y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0③f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称；④两个函数与的图象关于直线对称.⑤若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.⑥函数，的

4、图像关于直线（由确定）对称.函数图象（或方程曲线）对称性的证明思路　详见＜我的论文集＞曲线自身的对称问题　　　详见＜我的论文集＞两条曲线的对称问题　　　详见＜我的论文集＞例。（1）已知函数的图象过点（1，1），则的反函数的图象过点。（2）由函数的图象，通过怎样的变换得到的图象？