几种特殊类型函数的积分.doc

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1、几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，即（1）其中和是非负整数；及都是实数，并且．当（1）式的分子多项式的次数小于其分母多项式的次数，即时，称为有理真分式；当时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中，如果多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：．其中为实数；，…，；为正整数，那末根据代数理论可知，真分式总可以分解成如下部分分

2、式之和，即．（2）其中都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1），（2）（是正整数，），（3）（），（4）（是正整数，）．2.有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1），（2），（3）（）．将分母配方得，作变量代换，则；由于，记，于是．（4）()．作变量代换，并记，于是．其中第一个积分．第二个积分可通过建立递推公式求得．记利用分部积分法有．整理得．于是可得递推公式．（3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定

3、积分．最后由全部换回原积分变量，即可求出不定积分．例1求．解`．例2求．解因为可分解为．其中，，为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得．（4）即由于（4）式是恒等式，等式两端和的系数及常数项必须分别相等，于是有，从而解得，，．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的值，从而求出待定系数．如令，得；令，得；把，的值代入（4）式，并令，得，即．于是．例3求．解因为，两端去分母得．两端比较系数得，解方程组得，，，，，故．例4求．解因为，两端去分母得．令，得；令，得．于是．从理论上讲，多项式总可以在实数范围内分解成一次因式

4、和二次质因式的乘积，从而把有理函数分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5求．解．例6求．解．例7求．解．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为和的有理函数，所以，下面只讨论型函数的不定积分．由三角学知道，和都可以用的有理式表示，因此

5、，作变量代换，则,．又由，得，于是．由此可见，在任何情况下，变换都可以把积分有理化．所以，称变换为万能代换．例8求．解设，则．例9求．解设，则．虽然利用代换可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10求．解．例11求．解．三、简单无理函数的积分（一）型函数的积分表示和两个变量的有理式．其中，为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换，则，，于是．（5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12求．解令，则，，于是．例13求．解为了同时去掉被积函数中的两个根式，

6、取3和2的最小公倍数6，并作变量代换，则，，，，于是．（二）型函数的积分这里仍然表示和两个变量的有理式．其中为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换，则，，于是．（6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14求．解令,则，，于是．例15求．解，令，则，，，于是．