§4.4几种特殊类型函数的积分

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1、§4.4几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:,其中m和n都是非负整数;a0,a1,a2,×××,an及b0,b1,b2,×××,bm都是实数,并且a0¹0,b0¹0.当n

2、x-3

3、-5ln

4、x-2

5、+C.提

6、示:,A+B=1,-3A-2B=3,A=6,B=-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2求.解.提示:.例3求.解.提示:.二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示,故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sinx、cosx表成的函数,然后作变换:,.变换后原积分变成了有理函数的积分.例4求.解令,则,,x=2arctanu,

7、.于是.解令,则.说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分.例如,.三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5求.解设,即,则.例6求.解设.即,则.例7求.解设x=t6,于是dx=6t5dt,从而.例8求.解设,即,于是.练习1.求.解:作变换,则有,,.2.求.解:.3.求.解:=7ln

8、x-2

9、-4ln

10、x-1

11、+C.