浙江省2019高考数学优编增分练：函数与导数.doc

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1、(五)函数与导数1．(2018·浙江省台州中学模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，曲线y＝f(x)过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴．(1)用a分别表示b和c；(2)当bc取得最小值时，求函数g(x)＝－f(x)e－x的单调区间．解　(1)f′(x)＝2ax＋b，由题意得则b＝2a，c＝2a＋3.(2)由(1)得bc＝2a(2a＋3)＝42－，故当a＝－时，bc取得最小值－，此时有b＝－，c＝，从而f(x)＝－x2－x＋，f′(x)＝－x－，g(x)＝－f(x)e－x＝e－x，所以g′(x)＝－(x2

2、－4)e－x，令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，－2)上为减函数；当x∈(－2,2)时，g′(x)>0，故g(x)在(－2,2)上为增函数；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(2，＋∞)上为减函数．由此可见，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2,2)．2．(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知函数f(x)＝ekx(k－x)(k≠0)．(1)当k＝2时，求y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)对任意x∈R，f(x)≤

3、恒成立，求实数k的取值范围．解　(1)当k＝2时，f(x)＝e2x(2－x)．∵f′(x)＝2e2x(2－x)－e2x＝e2x(3－2x)，∴f′(1)＝e2，又∵f(1)＝e2，∴所求的切线方程为y－e2＝e2(x－1)．即y＝e2x.(2)方法一　∵ekx(k－x)≤，∴当x＝k时，0≤，即k>0，∴对任意x∈R，k(k－x)≤e－kx恒成立，设g(x)＝e－kx＋kx－k2，g′(x)＝－ke－kx＋k＝k(1－e－kx)，当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，

4、∴g(x)min＝g(0)＝1－k2≥0，又k>0，∴00，x≤k－时，f′(x)≥0；x>k－时，f′(x)<0，∴f(x)在上是增函数，在上是减函数．∴f(x)max＝f ＝·≤，∴k2－1≤0，即－1≤k≤

5、1，又k>0，∴0

6、＝2a与m(x)＝的图象的交点有2个．∵m′(x)＝，当x∈(0，e)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减．∴m(x)有极大值，又∵x∈(0,1]时，m(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，0

7、(x)＝lnx－2ax＋b，∴b＝2a且a≠1.h(x)＝xlnx－ax2＋(b－1)x＋ex－ex在x∈(1，＋∞)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当x>1时，h′(x)＝f′(x)＋g′(x)>0恒成立，即lnx＋ex－2ax＋2a－e>0恒成立，令t(x)＝lnx＋ex－2ax＋2a－e，∴t′(x)＝＋ex－2a，设φ(x)＝＋ex－2a，φ′(x)＝ex－，∵x>1，∴ex>e，<1，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，即t′(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴t′(x)>t′(1)＝1＋e－2a，当a≤且

8、a≠1时，t′(x)≥0，∴t(x)＝lnx＋ex－2ax＋2a－e在(1，＋∞)上单调递增，∴t(x)>t(1)＝0成立，当a>时，∵