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时间:2020-09-01
《浙江省2019高考数学优编增分练:函数与导数.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(五)函数与导数1.(2018·浙江省台州中学模拟)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴.(1)用a分别表示b和c;(2)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.解 (1)f′(x)=2ax+b,由题意得则b=2a,c=2a+3.(2)由(1)得bc=2a(2a+3)=42-,故当a=-时,bc取得最小值-,此时有b=-,c=,从而f(x)=-x2-x+,f′(x)=-x-,g(x)=-f(x)e-x=e-x,所以g′(x)=-(x2
2、-4)e-x,令g′(x)=0,解得x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2)时,g′(x)<0,故g(x)在(-∞,-2)上为减函数;当x∈(-2,2)时,g′(x)>0,故g(x)在(-2,2)上为增函数;当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,故g(x)在(2,+∞)上为减函数.由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调递增区间为(-2,2).2.(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知函数f(x)=ekx(k-x)(k≠0).(1)当k=2时,求y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)对任意x∈R,f(x)≤
3、恒成立,求实数k的取值范围.解 (1)当k=2时,f(x)=e2x(2-x).∵f′(x)=2e2x(2-x)-e2x=e2x(3-2x),∴f′(1)=e2,又∵f(1)=e2,∴所求的切线方程为y-e2=e2(x-1).即y=e2x.(2)方法一 ∵ekx(k-x)≤,∴当x=k时,0≤,即k>0,∴对任意x∈R,k(k-x)≤e-kx恒成立,设g(x)=e-kx+kx-k2,g′(x)=-ke-kx+k=k(1-e-kx),当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,
4、∴g(x)min=g(0)=1-k2≥0,又k>0,∴00,x≤k-时,f′(x)≥0;x>k-时,f′(x)<0,∴f(x)在上是增函数,在上是减函数.∴f(x)max=f =·≤,∴k2-1≤0,即-1≤k≤
5、1,又k>0,∴06、=2a与m(x)=的图象的交点有2个.∵m′(x)=,当x∈(0,e)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减.∴m(x)有极大值,又∵x∈(0,1]时,m(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,07、(x)=lnx-2ax+b,∴b=2a且a≠1.h(x)=xlnx-ax2+(b-1)x+ex-ex在x∈(1,+∞)时,其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角,即当x>1时,h′(x)=f′(x)+g′(x)>0恒成立,即lnx+ex-2ax+2a-e>0恒成立,令t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,∴t′(x)=+ex-2a,设φ(x)=+ex-2a,φ′(x)=ex-,∵x>1,∴ex>e,<1,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,即t′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴t′(x)>t′(1)=1+e-2a,当a≤且8、a≠1时,t′(x)≥0,∴t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e在(1,+∞)上单调递增,∴t(x)>t(1)=0成立,当a>时,∵
6、=2a与m(x)=的图象的交点有2个.∵m′(x)=,当x∈(0,e)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减.∴m(x)有极大值,又∵x∈(0,1]时,m(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,07、(x)=lnx-2ax+b,∴b=2a且a≠1.h(x)=xlnx-ax2+(b-1)x+ex-ex在x∈(1,+∞)时,其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角,即当x>1时,h′(x)=f′(x)+g′(x)>0恒成立,即lnx+ex-2ax+2a-e>0恒成立,令t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,∴t′(x)=+ex-2a,设φ(x)=+ex-2a,φ′(x)=ex-,∵x>1,∴ex>e,<1,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,即t′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴t′(x)>t′(1)=1+e-2a,当a≤且8、a≠1时,t′(x)≥0,∴t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e在(1,+∞)上单调递增,∴t(x)>t(1)=0成立,当a>时,∵
7、(x)=lnx-2ax+b,∴b=2a且a≠1.h(x)=xlnx-ax2+(b-1)x+ex-ex在x∈(1,+∞)时,其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角,即当x>1时,h′(x)=f′(x)+g′(x)>0恒成立,即lnx+ex-2ax+2a-e>0恒成立,令t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,∴t′(x)=+ex-2a,设φ(x)=+ex-2a,φ′(x)=ex-,∵x>1,∴ex>e,<1,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,即t′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴t′(x)>t′(1)=1+e-2a,当a≤且
8、a≠1时,t′(x)≥0,∴t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e在(1,+∞)上单调递增,∴t(x)>t(1)=0成立,当a>时,∵
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