数值分析全套课件.ppt

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1、科学计算的背景关于计算误差讨论浮点数与有效数字算术运算的误差估计《数值分析》1vonNeumannandGoldstine：“高阶矩阵的数值求逆”(1947年)数值分析——研究用计算机求解1958年,前苏联载人飞船1969年,美国Apollo登月1994年,美国GPS运行2/16数学问题的数值计算方法及其理论方程组求解、方程求根、数据插值、数据拟合、数值积分、微分方程求解vonNeumann引例:圆内接正多边形边长计算Pi方法(P.42&177)评价算法的主要指标:速度和精度求未知数据的迭代计

2、算技术:初始猜测数据、迭代计算格式、迭代序列的收敛性分析、计算复杂性分析，……3/16nLerror1923.14145241.4e-0043843.14155763.5e-0053.14159264.6e-010通信卫星覆盖地球面积数学模型实际问题获取数据数值方法、程序数据结果将地球考虑成一个球体,设R为地球半径,h为卫星高度,D为覆盖面在切痕平面上的投影(积分区域)4/16参考P.190模型误差:建立数学模型时所引起的误差；误差分类：舍入误差:计算机表示的数的位数有限，通常用四舍五入的办法取近似值

3、，由此引起的误差.截断误差:求解数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差观测误差:测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差；5/16假设某一数据的准确值为x*,其近似值为x，则称而称为x的相对误差误差的有关概念e(x)=x-x*为x的绝对误差6/16如果存在一个适当小的正数ε，使得则称ε为绝对误差限。称εr为相对误差限。如果存在一个适当小的正数εr，使得7/16十进制浮点数表示一台微机价格:￥3999.00,浮点数表示:0.3999×104地球半径:6378

4、137m,(6.378137e+006)浮点数表示:0.6378137×107光速:2.99792458e+008浮点数表示:0.299792458×109尾数部阶码部8/16其中,正负号占2个位,尾数占52个位,阶码占10个位.对应十进制数字长15,阶码308尾数部阶码部二进制数1.b1b2×2m(–4≤m≤3)分布实验二进制浮点数表示(IEEE754双精度)9/16有效数字概念:取的有限位数如下(≈3.1415926)取x1=3，误差限不超过0.5;取x2=3.14,误差限不超过0.005;若

5、近似值x的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x有n位有效数字.取x3=3.1416,误差限不超过0.00005;10/16一个有n位有效数字的数绝对误差限满足：相对误差限满足：11/16例1已知的十进制浮点数第一位是5，要使近似值的相对误差限小于0.1%，问浮点数的有效数字的位数至少应该为多少？解:a1=5,利用不等式所以,浮点数的有效数字位数至少应取3位。取n≥3,有

6、er(x)

7、≤10-312/1613/16例2.圆面积计算的误差估计圆面积计算公式:全微

8、分近似:取r=50cm,则有cm≈2×1%=2%≈150cm2,反问题:利用估计1.一元函数y=f(x)误差分析(准确值y*=f(x*))由Taylor公式同理:所以14/16反问题:估计2.多元函数z=f(x1,x2,···,xn)误差分析(1)(3)(2)15/16数据误差对算术运算影响例3.二次方程x2–16x+1=0,取求使具有4位有效数解:直接计算x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效数16/16计算出的x1具有两位有效数参考文献[1]李庆扬关治白峰杉,数值计算原理(清华)[2]蔡

9、大用白峰杉,现代科学计算[3]蔡大用,数值分析与实验学习指导[4]孙志忠,计算方法典型例题分析[5]车刚明等,数值分析典型题解析(西北工大)[6]DavidKincaid,数值分析(第三版)[7]JohnH.Mathews,数值方法(MATLAB版)练习与思考一、通过网络查找相关资料：1.关于圆周率的计算方法;2.IEEE754浮点数标准.二、回顾微积分内容球冠面积和体积计算公式及变形;一元函数及多元函数台劳展式.三、了解重要数据1.地球半径、地月距离、太阳半径、……2.微处理器尺度、普朗克常数、……