人教A版高中数学选修1-1同步检测：第二章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质.doc

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1、第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质A级　基础巩固一、选择题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2B．2C．4D．4解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由已知可得c＝6，所以a＝b＝c＝3，所以双曲线的标准方程是－＝1.答案：D3．已知双曲线－＝1(b>0)的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：由题

2、意及对称性可知焦点(，0)到bx－y＝0的距离为1，即＝1，所以b＝1，所以c＝2，又a＝，所以双曲线的离心率为.答案：C4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：C5．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)A．2B．2C．4D．4解析：双曲线的一

3、条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.答案：C二、填空题6．已知双曲线－＝1(00，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝____，b＝________．解析：因为双曲线－＝1(a

4、>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，所以＝2.①又双曲线的一个焦点为(，0)，所以a2＋b2＝5.②由①②得a＝1，b＝2.答案：1　28．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0答案：(－12，0)三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－)，离心率e＝；(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点

5、P(4，－)．解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为双曲线过点(3，－)，则－＝1.①又e＝＝＝，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．同理可得b2＝－，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.(2)由2a＝2b得a＝b，所以e＝＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6

6、.所以双曲线的标准方程为－＝1.10．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意所以0＜a＜且a≠1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．由此得x1＝x2.由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，

7、所以x2＝－，x＝－.消去x2得－＝.由a＞0，解得a＝.B级　能力提升1．若0＜k＜a2，则双曲线－＝1与－＝1有(　　)A．相同的虚线B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点解析：因为0＜k＜a2，所以a2－k＞0.对于双曲线－＝1，焦点在x轴上且c2＝a2－k＋b2＋k＝a2＋b2.同理双曲线－＝1焦点在x轴上且c2＝a2＋b2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是______

8、__．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，

9、F1F2

10、＝2c，则

11、PF1

12、＝c，

13、PF2

14、＝c.因为P在双曲线上，所以

15、PF2

16、－

17、PF1

18、＝2a而c－c＝2a所以＝＝＝＋1.答案：＋13．已知直线kx－y＋1＝0与双曲线－y2＝1相交于两个不