2018版高中数学（人教A版）选修1-1同步教师用书：第二章 2.2.2　双曲线的简单几何性质

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1、2.2.2　双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重点)2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)[基础·初探]教材整理　双曲线的简单几何性质阅读教材P49～P51例3以上部分，完成下列问题.1.双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝且e＞1渐近线y＝±xy＝±x2.

2、等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0).(2)性质：①渐近线方程为：y＝±x.②离心率为：e＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线是中心对称图形.(　　)(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长.(　　)(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√[小组合作型]双曲线的几何性质　(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A.B.C.1D.(2)若实数k满足0<

3、k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)【导学号：97792024】A.＋1B.＋1C.2D.2【自主解答】　(1)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y＝±x，∴x±y＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝＝.(2)因为0

4、线的右支上，则

5、PF1

6、－

7、PF2

8、＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90°，∴

9、PF2

10、＝

11、F1F2

12、＝2c，∴

13、PF1

14、＝2a＋

15、PF2

16、＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.∵e＞1，∴e＝＋1.【答案】　(1)B　(2)D　(3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1.(1)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.【解析】　由双曲线x2－＝1，得a＝1，∴＝2，b＝2.【答案】　2(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶

17、点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】　将原方程转化为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.利用双曲线的几何性质求其标准方程　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2).【精彩点拨】　用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质.【自

18、主解答】　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0).由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.1.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再

19、结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.2.如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).[再练一题]2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：97792025】(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.【解】　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).由已知得a＝，