人教A版高中数学必修4同步检测：第二章_章末复习课.doc

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1、章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a

2、(b·c).专题一　有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.[例1]　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．解：法一：向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．因为ka＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)．2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．所以解得即实数

3、k的值为－1.法二：因为ka＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1.归纳升华1．向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b＝λa.2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.[变式训练]　平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，

4、1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．所以解得(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.专题二　有关向量的夹角、垂直问题非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，cosθ＝＝.[例2]　已知向量a，b满足

5、a

6、＝

7、，

8、b

9、＝2，

10、a＋b

11、＝，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．解：由已知

12、a

13、＝，

14、b

15、＝2，

16、a＋b

17、＝，所以(a＋b)2＝13.所以a2＋2a·b＋b2＝13，则()2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝()2－6＋22＝1，所以

18、a－b

19、＝1.所以cosθ＝＝＝＝－.归纳升华1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是

20、不同的.[变式训练]　(1)若非零向量a，b满足

21、a

22、＝

23、b

24、，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．π(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．(1)解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为

25、a

26、＝

27、b

28、，设〈a，b〉＝θ，即3

29、a

30、2－

31、a

32、·

33、b

34、·cosθ－2

35、b

36、2＝0，所以

37、b

38、2－

39、b

40、2·cosθ－2

41、

42、b

43、2＝0.所以cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，所以x＝－.答案：A　(2)－专题三　有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)

44、a

45、2＝a2＝a·a；(2)

46、a±b

47、2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则

48、a

49、＝；(4)应用三角形或平行四边形法则．[例3]　设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

50、＋

51、＝

52、－

53、，则

54、

55、＝(　　)A．8B．4C．2D．1

56、(2)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cosx，sinx)，则

57、a＋b

58、的取值范围为________．解析：法一：因为2＝16，所以

59、

60、＝4.又

61、－

62、＝

63、

64、＝4，所以

65、＋

66、＝4，因为M为BC的中点，所以＝－.所以＝＋＝＋，所以＝(＋)，所以

67、

68、＝

69、＋

70、＝×4＝2.法二：如图所示，四边形ABDC是平行四边形，又

71、＋

72、＝

73、－

74、，所以

75、

76、＝

77、

78、，所以四边形ABDC是矩形，所以

79、

80、＝

81、

82、，又2＝16，所以

83、

84、＝4，所以

85、

86、＝2.(2)a＝(0，－1)，b＝(cosx，sinx)，所以a＋b＝(cosx