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1、章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1.有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的.(2)平行向量无传递性,即a∥b,b∥c时,a与c不一定是平行向量.(3)注意数量积是一个实数,不再是一个向量.2.向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约).(2)向量的“乘法”不满足结合律,即(a·b)c≠a
2、(b·c).专题一 有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题,常用共线向量定理:a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.[例1] 已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+2b与2a-4b平行,求实数k的值.解:法一:向量ka+2b与2a-4b平行,则存在唯一实数λ,使ka+2b=λ(2a-4b).因为ka+2b=4(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),所以(k-6,2k+4)=λ(14,-4).所以解得即实数
3、k的值为-1.法二:因为ka+2b=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),ka+2b与2a-4b平行,所以(k-6)(-4)-(2k+4)×14=0.解得k=-1.归纳升华1.向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b=λa.2.在解有关向量共线问题时,应注意运用向量共线的坐标表达式,a=(x1,y1)与b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0.[变式训练] 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,
4、1).(1)求满足a=mb+nc的实数m、n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.解:(1)因为a=mb+nc,所以(3,2)=(-m+4n,2m+n).所以解得(2)因为(a+kc)∥(2b-a),a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).所以2(3+4k)+5(2+k)=0,即k=-.专题二 有关向量的夹角、垂直问题非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为θ,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,cosθ==.[例2] 已知向量a,b满足
5、a
6、=
7、,
8、b
9、=2,
10、a+b
11、=,求向量a+b与a-b的夹角θ的余弦值.解:由已知
12、a
13、=,
14、b
15、=2,
16、a+b
17、=,所以(a+b)2=13.所以a2+2a·b+b2=13,则()2+2a·b+22=13,得2a·b=6.(a-b)2=a2-2a·b+b2=()2-6+22=1,所以
18、a-b
19、=1.所以cosθ====-.归纳升华1.本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长,求两对角线构成的向量的夹角,通过模的平方,沟通了向量的模与向量内积之间联系;2.两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是
20、不同的.[变式训练] (1)若非零向量a,b满足
21、a
22、=
23、b
24、,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A. B. C. D.π(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=________.(1)解析:由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又因为
25、a
26、=
27、b
28、,设〈a,b〉=θ,即3
29、a
30、2-
31、a
32、·
33、b
34、·cosθ-2
35、b
36、2=0,所以
37、b
38、2-
39、b
40、2·cosθ-2
41、
42、b
43、2=0.所以cosθ=.又因为0≤θ≤π,所以θ=.(2)因为a⊥b,所以a·b=0,即x+2(x+1)=0,所以x=-.答案:A (2)-专题三 有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:(1)
44、a
45、2=a2=a·a;(2)
46、a±b
47、2=a2±2a·b+b2;(3)若a=(x,y),则
48、a
49、=;(4)应用三角形或平行四边形法则.[例3] 设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,
50、+
51、=
52、-
53、,则
54、
55、=( )A.8B.4C.2D.1
56、(2)设向量a=(0,-1),向量b=(cosx,sinx),则
57、a+b
58、的取值范围为________.解析:法一:因为2=16,所以
59、
60、=4.又
61、-
62、=
63、
64、=4,所以
65、+
66、=4,因为M为BC的中点,所以=-.所以=+=+,所以=(+),所以
67、
68、=
69、+
70、=×4=2.法二:如图所示,四边形ABDC是平行四边形,又
71、+
72、=
73、-
74、,所以
75、
76、=
77、
78、,所以四边形ABDC是矩形,所以
79、
80、=
81、
82、,又2=16,所以
83、
84、=4,所以
85、
86、=2.(2)a=(0,-1),b=(cosx,sinx),所以a+b=(cosx