初二竞赛专题选讲之反证法.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲反证法一、内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题,当一个命题不易直接证明时,釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题,可表示为:A→B例如  原命题:对顶角相等 (真命题)逆否命题:不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如  原命题:同位角相等,两直线平行 (真命题)  逆否命题:两直线不平行,它们的同位角必不相等 (真命题)3.用反证法证明命题,一般有三个步骤:①反设 假设命题的结论不成立(即假设命题结论的反面成立)②归谬 推出矛盾(和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾)③结论 从而得出

2、命题结论正确例如: 求证两直线平行。用反证法证明时①假设这两直线不平行;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从而肯定,非平行不可。二、例题例1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平行 已知:如图∠1=∠2       A      1   B      求证:AB∥CD                          证明:设AB与CD不平行     C    2     D        那么它们必相交,设交点为M             D      这时,∠1是△GHM的外角    A     1  M   B          ∴

3、∠1>∠2               G      这与已知条件相矛盾           2           ∴AB与CD不平行的假设不能成立  H          ∴AB∥CD            C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明:假设两条直线相交有两个交点,那么这两条直线都经过相同的两个点,这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾,所以假设不能成立,因此两条直线相交只有一个交点。 (从以上两例看出,证明中的三个步骤,最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目,第一步“反设”也要认真对待)。例3.已知:m2是3的倍数,求证:m也是3的倍

4、数证明:设m不是3的倍数,那么有两种情况:m=3k+1或m=3k+2(k是整数)当 m=3k+1时, m2=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1  当 m=3k+2时, m2=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种,都推出m2不是3的倍数,这和已知条件相矛盾,所以假设不能成立。∴ m2是3的倍数时,m也是3的倍数例4.求证:不是有理数证明:假设是有理数,那么 = (a,b是互质的整数),∵=,∴()2=2,a2=2b2,∴a2是偶数,∵a2是偶数,∴a也是偶数,设a=2k(k是整数), a2=4k2,∵由a2

5、=2b2,得b2=a2=2k2,b2是偶数,∴b也是偶数那么a、b都是偶数,这和“a,b是互质数”的条件相矛盾,故假设不能成立∴不是有理数例5.若n是正整数,则分数是既约分数(即最简分数,分子与分母没有公约数)证明:设不是既约分数,那么它的分子、分母有公约数,设公约数为k(k≠1),且k,a,b都是正整数,即∴=, 3bk-2ak=1, (3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数,且只有乘数和被乘数都是±1时,积才能等于1   ∴3b-2a=±1,   k=±1∴分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数三、练习1.写出下列各命题结论的反面:命题的结论

6、  结论的反面①直线a∥b②线段m=n③a2是偶数④∠A是锐角⑤点A在⊙O上⑥∠A,∠B,∠C至少有1个大于或等于60⑦正整数m是5的倍数⑧方程没有有理数根 ⑨至少有一个方程两根不相等2. 已知:平面内三个点A,B,C满足AB+BC=AC,求证:A,B,C三点在同一直线上3.求证:等腰三角形的底角是锐角1.求证:一个圆的圆心只有一个 2.求证:三角形至少有一个内角大于或等于60度  3.如果a2奇数,那么a也是奇数 (仿例3)4.求证:没有一个有理数的平方等于3(仿例4)5.已知a,b,c都是正整数,且a2+b2=c2(即a,b,c是勾股数)求证①a,b,c至少有

7、一个偶数②a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解10.求证方程x2+y2=1991没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子,至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知:四边形ABCD中,AB+BD≤AC+CD求证:ABn或m<

8、n ④∠A

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