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《初二竞赛专题选讲之式的整除.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初中数学竞赛专题选讲式的整除一、内容提要1.定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式被另一个整式整除。2.根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式,那么 式的整除的意义可以表示为: 若f(x)=p(x)×q(x), 则称f(x)能被p(x)和q(x)整除 例如∵x2-3x-4=(x-4)(x+1),∴x2-3x-4能被(x-4)和(x+1)整除。显然当 x=4或x=-1时x2-3x-4=0,3.一般地,若整式f(x)含有x–a的因式,则f(a)=
2、0反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。4.在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。二、例题例1己知 x2-5x+m能被x-2整除,求m的值。x-3解法一:列竖式做除法 (如右) x-2 x2-5x+m 由 余式m-6=0 得m=6 x2-2x 解法二:∵x2-5x+m含有x-2的因式-3x+m∴以x=2代入x2-5x+m得-3x+622-
3、5×2+m=0得m=6m-6解法三:设x2-5x+m除以x-2的商是x+a (a为待定系数) 那么 x2-5x+m=(x+a)(x-2)= x2+(a-2)x-2a 根据左右两边同类项的系数相等,得 解得 (本题解法叫待定系数法)例2己知:x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除求:m、n的值及商式 解:∵被除式=除式×商式 (整除时余式为0)∴商式可设为x2+ax+b 得x4-5x3+11x2+mx+n=(x2-2x+1)(x2+ax+b
4、)=x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b 根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得 解得 ∴m=-11, n=4, 商式是x2-3x+4 例2m取什么值时,x3+y3+z3+mxyz(xyz≠0)能被x+y+z整除? 解:当 x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时,它含有x+y+z因式 令x+y+z=0,得x=-(y+z),代入原式其值必为0 即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0 把左边因式分解,得 -yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0
5、, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立 ∴当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时,m可取任何值 ,当m=-3时,x,y,z不论取什么值,原式都能被x+y+z整除。例4 分解因式x3-x+6分析:为获得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值,只有x=-2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1) 解:x3-x+6=(x+2)(x2-2x+3)三、练习1.若x3+2x2+mx+10=x3+nx2-4x+10,则m=___,n=___2.x3-4x2+3x+32除以x+2的余式是___,
6、x4-x2+1除以x2-x-2的余式是___3.己知x3+mx+4能被x+1整除,求m4.己知x4+ax3+bx-16含有两个因式x-1和x–2,求a和b的值5.己知13x3+mx2+11x+n能被13x2-6x+5整除,求m、n及商式6.己知ab≠0,m取什么值时,a3-6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.7.分解因式:①x3-7x+6,②x3-3x2+4,③x3-10x-3 8.选择题① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是( )
7、 (A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)(c)(x-y)(y-z)(x+z) (D)(x-y)(y+z)(x+z)②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数),对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是( )(A)p=100,q=10(B)p=5000,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.练习题参考答案1.–4,22.2;4x+53.34.5.商式x-16.127.①(x-1)(x-2)(x+3),②(x-2)2(x+1),③(x+3)(x2-3x-
8、1)8.①(A)②(D)