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《[初三]竞赛专题选讲之――基本对称式.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初中数学竞赛专题选讲(初三.6)基本对称式一、内容提要1.上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式.2.含两个变量的所有对称式,都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x-5)(2y-5), -, ……都是含两个变量的对称式,它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示:x2+y2=(x+y)2-2xy, x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(2x-5)(2y-5)=4xy-10(x+y)+25, -=-,
2、==.3.设x+y=m,xy=n.则x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2n;x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=m3-3mn;x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=m4-4m2n+2n2;x5+y5=(x2+y2)(x3+y3)-x2y2(x+y)=m5-5m3n+5mn2;………一般地,xn+yn (n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式:xk+1+yk+1=(xk+yk)(x+y)-xy(xk-1+yk-1) (k为正整数).4.含x, y的对称式,x+y,xy这三个代数式之间,
3、任意知道两式,可求第三式.二、例题例1.已知x=(+1),y=求下列代数式的值: ①x3+x2y+xy2+y3;②x2(2y+3)+y2(2x+3).解:∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=, xy=.① x3+x2y+xy2+y3=(x+y)3-2xy(x+y)=()3-2×=2; ② x2(2y+3)+y2(2x+3)=2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3[(x+y)2-2xy]+2xy(x+y)=3[()2×
4、=-6.例1.解方程组分析:可由 x3+y3,x+y求出xy,再由基本对称式,求两个变量x和y.解:∵x3+y3,=(x+y)3-3xy(x+y)③把①和②代入③,得35=53-15xy.∴xy=6.解方程组 得 或.例2.化简 +.解:设=x, =y. 那么 x3+y3=40, xy==2. ∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y), ∴ 40=(x+y)3-6(x+y).设x+y=u,得 u3-6u-40=0.(u-4)(u2+4u+10)=0. ∵u2+4
5、u+10=0没有实数根, ∴u-4=0, u=4. ∴x+y=4.即 +=4.例3.a取什么值时,方程x2-ax+a-2=0 的两根差的绝对值最小?其最小值是什么?解:设方程两根为x1, x2. 根据韦达定理, 得 ∵===,∴当a=2时, 有最小值是2.三、练习1. 已知x-y=a, xy=b. 则x2+y2=______; x3-y3=______.2. 若x+y=1,x2+y2=2. 则 x3+y3=_______; x5+y5=______.3. 如果 x+y=-2k,xy=4,.
6、则 k=_____.4.已知x+=4, 那么x-=____ , =___.1.若.=a, 那么x+=______, =___.2.已知:a=, b=.求: ①7a2+11ab+7b2; ②a3+b3-a2-b2-3ab+1.3.已知=8,则=____.(1990年全国初中数学联赛题)4.已知 a2+a-1=0则a3-=_____.(1987年泉州市初二数学双基赛)5.已知一元二次方程的两个根的平方和等于5,两根积是2,则这个方程可写成为:____________. (1990年泉州市初二数学
7、双基赛)6.化简: ①; ②.练习题参考答案1. a2+2b,a3+3ab 2.2.5,4.75 3. ±4. 2或-2, 14, 52 5. a2-2,a4-4a2+26. 109,36 7.62 8.–49.x2±3x+2=0 10. ①1, ②2