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《初中数学竞赛专题选讲 对称式(含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、www.czsx.com.cn初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y， xy， x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy, ，. 都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.2.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x, y, z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式a2(b－c)
2、+b2(c－a)+c2(a－b), 2x2y+2y2z+2z2x, ，（xy+yz+zx）(，.都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2.对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z的齐二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为： m(x2+y2
3、+z2)+n(xy+yz+zx)其中m, n是常数.3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.-5-www.czsx.com.cn例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项, 必有同型式b－c和 c－a两项.1.两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：∵x+y,xy都是对称式，∴x+y＋xy， （x+y）xy， 等也都是对称式.∵xy+yz+zx和都是轮换式，∴＋xy+yz+z， （）（xy
4、+yz+z）.也都是轮换式..二、例题例1.计算：（xy+yz+zx）(－xyz(.分析：∵（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，，连同它的同型式一齐写下.解：原式＝（）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－() ＝2x+2y+2z.例2.已知：a+b+c=0, abc≠0. 求代数式 的值 分析：这是含a,b,c的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：∵＝＝，∴＝－－－-5-www.czsx.com.cn＝ －＝0.例2.计算：（a+b+c
5、）3分析：展开式是含字母 a, b, c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例3.解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m, n, p是待定系数） 令 a=1,b=0,c=0.比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1比较左右两边系数得3m+6n+p=27.解方程组 得∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c
6、2b+6abc.例4.因式分解：① a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)； ②（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5.解：①∵当a=b时，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.∴有因式a－b及其同型式b－c, c－a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a)比较左右两边a3b的系数，得m=－1.∴
7、a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a).②x=0时，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0∴有因式x，以及它的同型式y和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5-5-www.czsx.com.cn＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1.比较左右两边系数， 得80=m+n；令 x
8、=1,y=1,z=2.比较左右两边系数， 得480=6m+n.解方程组 得.∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y－2xy2,试接着写完
