[初二]竞赛专题选讲之——十进制记数法

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1、初中数学竞赛专题选讲十进制的记数法一、内容提要1.十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数—第1位)，101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×1002.十进制的n位数(n为正整数)，记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an

2、其中最高位a1≠0，即0

3、＋x，新六位数为10x＋1，　　　　根据题意，得　10x＋1＝3（1×105＋x）　　7x=299999x=42857∴原六位数是142857例2.设n为正整数，计算×＋1解：原数＝（10　n–1）×（10　n–1）+1×10n+10n－1　　　　＝102n－2×10n+1+10n+10n－1　　　　＝102n例3.试证明12，1122，111222，……，5这些数都是两个相邻的正整数的积证明：12＝3×4，　1122＝33×34，111222＝333×334注意到333×334＝333×（333＋1）

4、＝×（＋1）由经验归纳法，得＝×10n+＝（＋）＝（上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例1.试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d,根据题意得　a+b+c+d=9k(k为正整数)，∴d=9k－a－b－c,代入原四位数，得103a+102b+10c＋9k－a－b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k=9(111a+11b+c+k)∵111a+11b+c

5、+k是整数，∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除推广到n位正整数：　n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　代入（1）得原数＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1　＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示，，…9∴原数＝9（a1＋a2＋…

6、＋an+k）∴这个n位正整数必能被9整除5例1.已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。求：这个三位数。解：设这个三位数为102a+10b+c其中0＜a≤9,0≤b,c≤9＝9a＋b＋且－8≤a-b+c≤18∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。①当a-b+c＝11时，商是9a+b+1,根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1a只能是1，c=9,b=a+c-11=-1不合题意②当a-b+c＝0时，商是9a+b,9a+b=a+b+c且a-b+c＝11解得　　　　答这个数是

7、198例2.一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877,∴可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案abc(c-2)从个位看(c-2)+a=7或17+)(c-2)cba从千位看a+(c-2)=8(没进入万位)8877可知(c-2)+a=7即c+a=9(1)从十位上看b+c=7或17从百位上看c+b=8(进入

8、千位)可知c+b=17(2)(2)+(1)得b-a=8∵0