抓住问题的实质.doc

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1、抓住问题的实质　　有些题目，表面上说的不是一回事，但是从数学的内容来说，实质上是一码事.因此，做题时不要被出题人的改头换面的手法所迷惑.　　例8早晨8点多有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去.两辆车的速度都是每小时60千米.8点32分，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍，到了8点39分，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍.那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？　　解：车速每小时60千米，也就是每分钟1千米，车行几分钟就走几千米.　　上面是两辆车在8点32分时和在8点39分时的示意图

2、.图中阴影部分是两辆车之间的距离.因为两辆车的速度是一样的，所以两辆车之间的距离不变.到8点39分，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的两倍.因此　　两车距离=8点39分第二辆车离厂距离　　=8点32分第二辆车离厂距离+7千米　　=两车距离的一半+7千米　　这就得出两车距离是14千米，到8点39分时第一辆车已经走了28千米，从化肥厂开出了28分钟，因此第一辆汽车是8点11分离开化肥厂的.　　答：第一辆车在8点11分离开化肥厂.　　看到“速度”、“距离”、“行走”等词，有些同学就认为是行程问题，其实不然.

3、从数学角度来说，本例实质是小学数学中的“年龄问题”.改换一下它的面貌，就有下面这道题：　　1980年小英的姑姑的年龄是小英年龄的3倍；1987年小英姑姑的年龄是小英的2倍.问小英哪年出生？　　用图解法表示小英和姑姑在1980年和1987年的年龄，与前面画的图完全一样.这是最典型的“年龄问题”.解这种题的“关键”是两人的年龄差（两车距离）是一个定数.　　例9从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路.一辆汽车上坡每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9是多少千米？　　解：上

4、坡速度与下坡速度之比是　　20∶35＝4∶7，　　上坡时间∶下坡时间=7∶4.　　考虑往返全程，其中上坡时间是　　如果从甲往乙都是上坡，要用10.5小时，现在只用9小时，因此其中下坡时间是　　上坡时间是9-2＝7（小时）.　　甲至乙行程中　　上坡行程=20×7＝140（千米），　　下坡行程=35×2＝70（千米）.　　答：甲至乙上坡和下坡行程分别是140千米和70千米.　　　　例9与第二讲例6是完全一样的问题，当然可用“和差问题”方法求解，例9也是第三讲例16的特殊情况，若先求出上坡与下坡的平均速度，也

5、可用“鸡兔同笼”方法求解.但从速度比入手，转化为时间之比，考虑和比与差比，似乎更抓住了问题的实质.　　例10某工厂一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成一项生产任务.如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项生产任务.问如果同时交换A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前多少时间完成这项生产任务？　　解：工作量=工作效率×时间.　　设原来的工作效率为1

6、.　　　　　　　因此时间缩短了　　答：可以提前1小时48分完成.　　对小学生来说，这道题目的文字稍长了一些.弄明白了，其实内容是很简单的.　　这是工程问题.按照小学同学的习惯，设这项生产任务的工作量为1.原　　质是工作效率的提高，如何从数量上反映出“提高”，是有讲究的，要尽量使进一步的思考容易些.　　例10还有一种简单解法：　　设工作量为72份（9与8的最小公倍数）.原来每小时完成8份，两人　　出现分数，就易于进一步思考.）　　A与B，C与D都交换，每小时能完成　　8+1+1＝10（份）.　　完成72份

7、需要72÷10＝7.2（小时），比原来少1.8小时.　　这样解实质上就是设原来的工作效率是8，使计算整数化.　　例11某班买来单价为1.5元练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本.那么这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱？　　　　因此，均分给全班每人可分得　　　1.5×6＝9（元）.　　答：均分全班每人应付9元.　　从上面计算可看出，这道题的答数，与有多少练习本无关.我们可以设练　　一模一样.在工程问题中，也不知工作量究竟多大，通常设

8、为整体1.因此例11与工程问题是一类问题.对于单给女生每人15本与单给男生每人10本，说明女生人数与男生人数之比是3∶2.你可以认为全班就只有3位女生，2位男生，一样可做出答数.这就是问题的实质.在工程问题中，甲独做要几天，乙独做要几天，也只是说甲与乙的工作效率之比.用这个比来解题，有时计算方便，而且整数化.在第八讲中，不少例题就是这样做的.学了比例，就要灵活运用.　　例12已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的