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时间:2020-08-31
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1、抓住问题的实质 有些题目,表面上说的不是一回事,但是从数学的内容来说,实质上是一码事.因此,做题时不要被出题人的改头换面的手法所迷惑. 例8早晨8点多有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去.两辆车的速度都是每小时60千米.8点32分,第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍,到了8点39分,第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍.那么,第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的? 解:车速每小时60千米,也就是每分钟1千米,车行几分钟就走几千米. 上面是两辆车在8点32分时和在8点39分时的示意图
2、.图中阴影部分是两辆车之间的距离.因为两辆车的速度是一样的,所以两辆车之间的距离不变.到8点39分,第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的两倍.因此 两车距离=8点39分第二辆车离厂距离 =8点32分第二辆车离厂距离+7千米 =两车距离的一半+7千米 这就得出两车距离是14千米,到8点39分时第一辆车已经走了28千米,从化肥厂开出了28分钟,因此第一辆汽车是8点11分离开化肥厂的. 答:第一辆车在8点11分离开化肥厂. 看到“速度”、“距离”、“行走”等词,有些同学就认为是行程问题,其实不然.
3、从数学角度来说,本例实质是小学数学中的“年龄问题”.改换一下它的面貌,就有下面这道题: 1980年小英的姑姑的年龄是小英年龄的3倍;1987年小英姑姑的年龄是小英的2倍.问小英哪年出生? 用图解法表示小英和姑姑在1980年和1987年的年龄,与前面画的图完全一样.这是最典型的“年龄问题”.解这种题的“关键”是两人的年龄差(两车距离)是一个定数. 例9从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路.一辆汽车上坡每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9是多少千米? 解:上
4、坡速度与下坡速度之比是 20∶35=4∶7, 上坡时间∶下坡时间=7∶4. 考虑往返全程,其中上坡时间是 如果从甲往乙都是上坡,要用10.5小时,现在只用9小时,因此其中下坡时间是 上坡时间是9-2=7(小时). 甲至乙行程中 上坡行程=20×7=140(千米), 下坡行程=35×2=70(千米). 答:甲至乙上坡和下坡行程分别是140千米和70千米. 例9与第二讲例6是完全一样的问题,当然可用“和差问题”方法求解,例9也是第三讲例16的特殊情况,若先求出上坡与下坡的平均速度,也
5、可用“鸡兔同笼”方法求解.但从速度比入手,转化为时间之比,考虑和比与差比,似乎更抓住了问题的实质. 例10某工厂一个生产小组,当每个工人在自己原岗位工作时,9小时可完成一项生产任务.如果交换工人A和B的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可提前1小时完成这项生产任务;如果交换工人C和D的工作岗位,其他工人生产效率不变时,也可提前1小时完成这项生产任务.问如果同时交换A和B,C和D的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可以提前多少时间完成这项生产任务? 解:工作量=工作效率×时间. 设原来的工作效率为1
6、. 因此时间缩短了 答:可以提前1小时48分完成. 对小学生来说,这道题目的文字稍长了一些.弄明白了,其实内容是很简单的. 这是工程问题.按照小学同学的习惯,设这项生产任务的工作量为1.原 质是工作效率的提高,如何从数量上反映出“提高”,是有讲究的,要尽量使进一步的思考容易些. 例10还有一种简单解法: 设工作量为72份(9与8的最小公倍数).原来每小时完成8份,两人 出现分数,就易于进一步思考.) A与B,C与D都交换,每小时能完成 8+1+1=10(份). 完成72份
7、需要72÷10=7.2(小时),比原来少1.8小时. 这样解实质上就是设原来的工作效率是8,使计算整数化. 例11某班买来单价为1.5元练习本若干,如果将这些练习本只给女生,平均每人可得15本,如果将这些练习本只给男生,平均每人可得10本.那么这些练习本平均分给全班同学,每人应付多少钱? 因此,均分给全班每人可分得 1.5×6=9(元). 答:均分全班每人应付9元. 从上面计算可看出,这道题的答数,与有多少练习本无关.我们可以设练 一模一样.在工程问题中,也不知工作量究竟多大,通常设
8、为整体1.因此例11与工程问题是一类问题.对于单给女生每人15本与单给男生每人10本,说明女生人数与男生人数之比是3∶2.你可以认为全班就只有3位女生,2位男生,一样可做出答数.这就是问题的实质.在工程问题中,甲独做要几天,乙独做要几天,也只是说甲与乙的工作效率之比.用这个比来解题,有时计算方便,而且整数化.在第八讲中,不少例题就是这样做的.学了比例,就要灵活运用. 例12已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同,猫跑7步的路程与兔跑5步的
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