抓住和式实质，巧解数列习题.doc

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1、抓住和式实质，巧解数列习题人教版新课标高中数学必修5第69页有一道习题：。从学生们的作业中发现了一类典型错解，见解答一；但欣喜的是也有几个学生解答简洁，结果也完全正确，见解答二。解法一解法二本题编排在新课《等比数列的前n项和》之后，学生自然会受到一定的暗示，那就是用等比数列前n项和公式和通项公式，列出关于基本量和的两个方程，然后解方程组即可。这本是一种通法，但为什么那么多学生出错呢？关键是应用等比数列前n项公式时缺少分类讨论的意识，对于公比为1的情况，往往忽视，导致丢解。其实解法一还有一个难点，就是解关于

2、的三次方程。由于学生在初中没有学习立方差公式，高中也没有学，故处理（2）式时不能将约去，从而得到一个关于的三次方程，这个方程让学生耗时多，有的学生甚至无法解出。而解法二，避开了分类讨论，避开了三次方程，简洁正确地解决了该题。能做到这两点，是由于没有用等比数列的前n项和公式，而是利用了“”。其实在有关等比数列的问题中涉及到和的问题时，若能抓住等比数列前n项和的实质——前n项相加，则能避开等比数列的求和公式，从而避开分类讨论，有时还能避开高次方程，从而将问题巧妙解决。下面就举例谈谈和式的巧妙处理。例1:（人教

3、版新课标高中数学必修5第66页练习题）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么前15项的和等于多少？解：设这个等比数列的公比为4这里的解答也没有利用前n项和公式，而是抓住了前n项和的实质，将S10写成了前10项和的形式，然后利用an=am•qn-m将S10转化为(1+q5)S5，对于S15同样处理，避免了讨论公比是否可能为1，轻松解决了问题，而且这种解法稍加引申拓展，可以得到关于等比数列前n项和的两个性质：这样得到的性质，来得自然，学生印象深刻，而且知道性质的用法以及在什么情况下可用

4、。例2：一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，其偶数项的和为170，求此数列的公比。解：设该数列的公比为，项数为n。由题意(3)÷(2)得=2故该数列的公比为2。本题求公比时没有将奇数项（偶数项）的和用求和公式表示，仍然是抓住了和的实质──奇数项（偶数项）相加，两式相除，很快将公比求出。可见，涉及到和的问题，如果有几个不同的和式，相加的项数又相同，细心观察和式中相加的项的特点，也许能找到避开求和公式的解题途径。从本题也可以得到等比数列的一个性质：若项数为偶数，分别为偶数项和奇数项

5、的和，则例3：设数列是公比为的等比数列，是它的前n项和，若是等差数列，求公比。解：∵是等差数列4该题从的实质入手，将和式之间的关系转化为项的关系，得到，从而求出公比。这种“简洁”是用求和公式无法达到的。在等比数列的习题中，类似的题目很多，大致可以分为如下几类：一类是和式体现的项数较少，可直接写成几项的和（如本文第一段中的习题）；一类是和式体现的项数有某种规律，或相等，或成倍数关系，常利用an=am•qn-m进行处理（如例1和例2）；一类是利用和的实质，将和的关系转化为项的关系（如例3）。等差数列也有上面这

6、些类型，而且可以采用相似方法处理。本文只针对等比数列来讲，是因为它前n项和公式涉及到分类讨论，涉及到，从而导致它的计算相对于等差数列来说要难。在具体的问题中，若能抓住等比数列的实质，抓住求和实质，细心观察，勤于思考，而不是简单地套用公式，则能避开难点，简洁有效地解决问题。在当前使用新教材，学生们解高次方程的能力比较弱的情况下，这种处理尤显重要。当然本文并不是说不要掌握等比数列的前n项和公式，相反地，我们应该熟练掌握公式，树立分类意识，遇到必须要用公式解决时，必须解决得干净利落。总而言之，数学的学习不仅仅是

7、公式的简单套用，而是要具体问题具体分析，灵活运用所学知识解决问题。最后提供几个练习题：2、设等比数列的前n项和为，若，求公比的值。5、设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(取lg2=0.3，lg3=0.4)6、设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.。4参考答案：3、1054、略5、前5项和最大6、略4