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时间:2021-02-02
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1、抓住和式实质,巧解数列习题人教版新课标高中数学必修5第69页有一道习题:已知a33,S39,求a1与q。22从学生们的作业中发现了一类典型错解,见解答一;但欣喜的是也有几个学生解答简洁,结果也完全正确,见解答二。解法一解法二a3a1q23(1)解:S3a1a2a329解:a1a1qa1q2(1)a1(1q3)92S3(2)1q223又a3a1q(2)(2)(1)整理得,2q33q2102(1)(2)整理得2q2q10q1q1解得舍去或()2解得q1或q112将q2代入(1)得a16。q时,a13;q1时,a1。12
2、26本题编排在新课《等比数列的前n项和》之后,学生自然会受到一定的暗示,那就是用等比数列前n项和公式和通项公式,列出关于基本量a1和q的两个方程,然后解方程组即可。这本是一种通法,但为什么那么多学生出错呢?关键是应用等比数列前n项公式时缺少分类讨论的意识,对于公比为1的情况,往往忽视,导致丢解。其实解法一还有一个难点,就是解关于q的三次方程。由于学生在初中没有学习立方差公式,高中也没有学,故处理(2)式时不能将(1q)约去,从而得到一个关于q的三次方程,这个方程让学生耗时多,有的学生甚至无法解出。而解法二,避开了分
3、类讨论,避开了三次方程,简洁正确地解决了该题。能做到这两点,是由于没有用等比数列的前n项和公式,而是利用了“S3a1a2a3a1a1qa1q2”。其实在有关等比数列的问题中涉及到和的问题时,若能抓住等比数列前n项和的实质——前n项相加,则能避开等比数列的求和公式,从而避开分类讨论,有时还能避开高次方程,从而将问题巧妙解决。下面就举例谈谈和式的巧妙处理。例1:(人教版新课标高中数学必修5第66页练习题)如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么前15项的和等于多少?解:设这个等比数列的公比为q1S
4、10a1a2a3a4a5(a6a7a8a9a10)S5q5S5(1q5)S550(1)同理:S15S10q10S5因为S510,所以由(1)得q54,从而q1016代入(2)得S15S10q10S550160210这里的解答也没有利用前n项和公式,而是抓住了前n项和的实质,将S10写成了前10项和的形式,然后利用an=am?qn-m将S10转化为(1+q5)S5,对于S15同样处理,避免了讨论公比是否可能为1,轻松解决了问题,而且这种解法稍加引申拓展,可以得到关于等比数列前n项和的两个性质:nSm;(2)q时,,S
5、2nSn,S3n,成等比数列。(1)SmnSnq1SnS2n这样得到的性质,来得自然,学生印象深刻,而且知道性质的用法以及在什么情况下可用。例2:一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,其偶数项的和为170,求此数列的公比。解:设该数列的公比为q,项数为n。由题意a1a3an185(1)a2a4an170(2)由得a1qa3qan1q170(3)(2)(3)÷(2)得q=2故该数列的公比为2。本题求公比时没有将奇数项(偶数项)的和用求和公式表示,仍然是抓住了和的实质──奇数项(偶数项)相加,
6、两式相除,很快将公比求出。可见,涉及到和的问题,如果有几个不同的和式,相加的项数又相同,细心观察和式中相加的项的特点,也许能找到避开求和公式的解题途径。从本题也可以得到等比数列的一个性质:若项数为偶数,S偶与S奇分别为偶数项和奇数项的和,则S偶q。S奇例3:设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若Sn是等差数列,求公比q。解:∵Sn是等差数列2Sn1SnSnSn1(nN*且n2)an1an(nN*且n2)又数列an是公比为q的等比数列公比qan11an该题从Sn的实质入手,将和式之间的关系转化为项的关
7、系,得到an1an,从而求出公比。这种“简洁”是用求和公式无法达到的。在等比数列的习题中,类似的题目很多,大致可以分为如下几类:一类是和式体现的项数较少,可直接写成几项的和(如本文第一段中的习题);一类是和式体现的项数有某种规律,或相等,或成倍数关系,常利用a?n-m进行处理(如例1和例2);一类是利用和的n=amq实质,将和的关系转化为项的关系(如例3)。等差数列也有上面这些类型,而且可以采用相似方法处理。本文只针对等比数列来讲,是因为它前n项和公式涉及到分类讨论,涉及到qn,从而导致它的计算相对于等差数列来说要
8、难。在具体的问题中,若能抓住等比数列的实质,抓住求和实质,细心观察,勤于思考,而不是简单地套用公式,则能避开难点,简洁有效地解决问题。在当前使用新教材,学生们解高次方程的能力比较弱的情况下,这种处理尤显重要。当然本文并不是说不要掌握等比数列的前n项和公式,相反地,我们应该熟练掌握公式,树立分类意识,遇到必须要用公式解决时,必须解决得干净利落。总而言之,数学的
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