抓住和式实质,巧解数列习题.docx

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1、抓住和式实质，巧解数列习题人教版新课标高中数学必修5第69页有一道习题：已知a33，S39，求a1与q。22从学生们的作业中发现了一类典型错解，见解答一；但欣喜的是也有几个学生解答简洁，结果也完全正确，见解答二。解法一解法二a3a1q23(1)解：S3a1a2a329解：a1a1qa1q2(1)a1(1q3)92S3(2)1q223又a3a1q(2)(2)(1)整理得，2q33q2102(1)(2)整理得2q2q10q1q1解得舍去或()2解得q1或q112将q2代入(1)得a16。q时，a13；q1时，a1。12

2、26本题编排在新课《等比数列的前n项和》之后，学生自然会受到一定的暗示，那就是用等比数列前n项和公式和通项公式，列出关于基本量a1和q的两个方程，然后解方程组即可。这本是一种通法，但为什么那么多学生出错呢？关键是应用等比数列前n项公式时缺少分类讨论的意识，对于公比为1的情况，往往忽视，导致丢解。其实解法一还有一个难点，就是解关于q的三次方程。由于学生在初中没有学习立方差公式，高中也没有学，故处理（2）式时不能将(1q)约去，从而得到一个关于q的三次方程，这个方程让学生耗时多，有的学生甚至无法解出。而解法二，避开了分

3、类讨论，避开了三次方程，简洁正确地解决了该题。能做到这两点，是由于没有用等比数列的前n项和公式，而是利用了“S3a1a2a3a1a1qa1q2”。其实在有关等比数列的问题中涉及到和的问题时，若能抓住等比数列前n项和的实质——前n项相加，则能避开等比数列的求和公式，从而避开分类讨论，有时还能避开高次方程，从而将问题巧妙解决。下面就举例谈谈和式的巧妙处理。例1:（人教版新课标高中数学必修5第66页练习题）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么前15项的和等于多少？解：设这个等比数列的公比为q1S

4、10a1a2a3a4a5(a6a7a8a9a10)S5q5S5(1q5)S550(1)同理：S15S10q10S5因为S510，所以由(1)得q54,从而q1016代入(2)得S15S10q10S550160210这里的解答也没有利用前n项和公式，而是抓住了前n项和的实质，将S10写成了前10项和的形式，然后利用an=am?qn-m将S10转化为(1+q5)S5，对于S15同样处理，避免了讨论公比是否可能为1，轻松解决了问题，而且这种解法稍加引申拓展，可以得到关于等比数列前n项和的两个性质：nSm;(2)q时，，S

5、2nSn，S3n，成等比数列。(1)SmnSnq1SnS2n这样得到的性质，来得自然，学生印象深刻，而且知道性质的用法以及在什么情况下可用。例2：一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，其偶数项的和为170，求此数列的公比。解：设该数列的公比为q，项数为n。由题意a1a3an185(1)a2a4an170(2)由得a1qa3qan1q170(3)(2)(3)÷(2)得q=2故该数列的公比为2。本题求公比时没有将奇数项（偶数项）的和用求和公式表示，仍然是抓住了和的实质──奇数项（偶数项）相加，

6、两式相除，很快将公比求出。可见，涉及到和的问题，如果有几个不同的和式，相加的项数又相同，细心观察和式中相加的项的特点，也许能找到避开求和公式的解题途径。从本题也可以得到等比数列的一个性质：若项数为偶数，S偶与S奇分别为偶数项和奇数项的和，则S偶q。S奇例3：设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，求公比q。解：∵Sn是等差数列2Sn1SnSnSn1(nN*且n2)an1an(nN*且n2)又数列an是公比为q的等比数列公比qan11an该题从Sn的实质入手，将和式之间的关系转化为项的关

7、系，得到an1an，从而求出公比。这种“简洁”是用求和公式无法达到的。在等比数列的习题中，类似的题目很多，大致可以分为如下几类：一类是和式体现的项数较少，可直接写成几项的和（如本文第一段中的习题）；一类是和式体现的项数有某种规律，或相等，或成倍数关系，常利用a?n-m进行处理（如例1和例2）；一类是利用和的n=amq实质，将和的关系转化为项的关系（如例3）。等差数列也有上面这些类型，而且可以采用相似方法处理。本文只针对等比数列来讲，是因为它前n项和公式涉及到分类讨论，涉及到qn，从而导致它的计算相对于等差数列来说要

8、难。在具体的问题中，若能抓住等比数列的实质，抓住求和实质，细心观察，勤于思考，而不是简单地套用公式，则能避开难点，简洁有效地解决问题。在当前使用新教材，学生们解高次方程的能力比较弱的情况下，这种处理尤显重要。当然本文并不是说不要掌握等比数列的前n项和公式，相反地，我们应该熟练掌握公式，树立分类意识，遇到必须要用公式解决时，必须解决得干净利落。总而言之，数学的