最新高考数学二轮复习学案：圆锥曲线的综合问题 含解析.doc

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1、第3讲　圆锥曲线的综合问题年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T19解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系．(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解.卷Ⅱ直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T19卷Ⅲ直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、证明问题·T202017卷Ⅰ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关

2、系·T20卷Ⅱ点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T20卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T202016卷Ⅰ定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T20卷Ⅱ直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20卷Ⅲ证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20　　　　定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.(1)求椭

3、圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．【解】　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为x＝t(y－m)，由＝λ1，知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，所以y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，所以λ1＝－1.同理由＝λ2知λ2＝－1.因为λ1＋λ2＝－3，所以－1＋－1＝－3，所以y1y

4、2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，所以(mt)2＝1，由题意mt<0，所以mt＝－1，满足②，故直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1，0)，即Q为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证

5、明该定点与变量无关．[提醒]　(1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y＝kx＋b，若b为常量，则直线恒过点(0，b)；若为常量，则直线恒过点.(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ为参数)．解方程组即得定点坐标．　[对点训练]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．解：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)

6、，所以＝1，即p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x得ky2－4y＋4b＝0.由根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以y

7、AyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综合①②可知，直线AB过定点(8，0)．　　　定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．【解】　(1)设P(x，y)，易知N(x，0)，＝(0，y)，又＝　＝，所以M，又点M在椭圆上，所以＋＝1

8、，即＋＝1.所以点P的轨迹E的方程为＋＝1.(2)证明：当直线l1与x轴重合时，

9、AB

10、＝6，

11、CD

12、＝，所以＋＝.当直线l1与x轴垂直时，

13、AB

14、＝，

15、CD

16、＝6，所以＋＝.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直