最新高考数学二轮复习学案：导数的综合应用 含解析.doc

《最新高考数学二轮复习学案：导数的综合应用 含解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4讲　导数的综合应用年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ讨论函数的单调性、不等式的证明·T21导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值．(2)利用导数证明不等式或探讨方程的根．(3)利用导数求解参数的范围或值.卷Ⅱ不等式的证明、函数的零点问题·T21卷Ⅲ不等式的证明、极值点问题·T212017卷Ⅰ利用导数研究函数的单调性、函数的零点·T21卷Ⅱ利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证

2、明·T21卷Ⅲ导数在研究函数单调性中的应用、不等式放缩·T212016卷Ⅰ函数的零点问题、不等式的证明·T21卷Ⅱ函数单调性的判断、不等式证明及值域问题·T21卷Ⅲ三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21利用导数研究函数的零点(方程的根)(综合型)[典型例题]命题角度一　根据函数零点求参数范围(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【解】　(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－

3、(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h(2)＝1－是h(x)在[0，＋∞)的最小值．①若h(2)＞0，

4、即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点．综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象的交点个数确定参数满足的条件，把问题转化为使用计算方法研究参数满足的代数条件上，解决问题的步骤是“先形后数”．　命题角度二　根据参数确

5、定函数的零点个数已知函数f(x)＝(a，b∈R，a≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论方程f(x)＝1根的个数．【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，由f′(1)＝a－b＝－a，得b＝2a，所以f(x)＝，f′(x)＝－.当a>0时，由f′(x)>0，得0.当a<0时，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得00时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a<0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)f(x)＝1，即方程＝1，即方程＝

6、，构造函数h(x)＝，则h′(x)＝－，令h′(x)＝0，得x＝，且在上h′(x)>0，在上h′(x)<0，即h(x)在上单调递增，在上单调递减，所以h(x)max＝h＝e.在上，h(x)单调递减且h(x)＝>0，当x无限增大时，h(x)无限接近0；在上，h(x)单调递增且当x无限接近0时，lnx＋2负无限大，故h(x)负无限大．故当0<时，方程f(x)＝1有两个不等实根，当a＝时，方程f(x)＝1只有一个实根，当a<0时，方程f(x)＝1只有一个实根．综上可知，当a>时，方程f(x)＝1有两个实根；当a<0或a＝时，方程f(x)＝1有一个实根；当0

7、1无实根．(1)根据参数确定函数零点的个数，基本思想也是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，大致勾画出函数图象，然后通过函数性质得出其与x轴交点的个数，或者两个函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”．(2)判断函数在某区间[a，b]((a，b))内的零点的个数时，主要思路为：一是由f(a)f(b)<0及零点存在性定理，说明在此区间上至少有一个零点；二是求导，判断函数在区间(a，b)上的单调性，若函数在该区