教案编号2(1.4极限的概念).doc

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1、教案编号:NO:2课题:§1.4极限的概念教学时间:教学班级:授课类型:讲授新课教学目的的要求:1．理解数列极限的定义，并能用定义求解一些简单数列的极限；2．了解函数极限的描述性定义；3.理解函数左右（无穷型）极限的概念，以及函数极限存在与左、右（或）极限之间的关系；4.了解极限的性质。教学重点:1．函数极限的定义及性质；教学难点:1.函数左右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系；2.函数无穷型极限的概念，以及函数极限存在与极限之间的关系。教学思路：极限是研究微积分的基本工具，本次课将带领

2、学生从特殊函数——数列入手，分析函数中自变量在某一变化趋势下函数的变化的趋势，引出极限概念。再从数列过渡到一般函数，从自变量的变化“路径”得到左右极限，无穷型极限等概念。最后带领同学探讨极限的性质。教学过程：一、新课引入：极限方法：讨论当自变量在某一变化过程中，函数的变化趋势。并用这种变化趋势解决问题的方法叫做极限方法。极限是研究微积分的基本工具。为了更好地描述极限概念，我们先从特殊函数——数列入手，引入极限的概念。二、新课讲授：1.数列的极限定义1按一定顺序排列的一串数，，…，，…称为无穷数列，简称数

3、列，记作。通常称为数列第一项，为数列第二项，…，为数列第项，亦称通项或一般项。例如（1）数列：，，，…，，…。其通项为；（2）数列：，，，…，，…。其通项为；（3）数列：，，，…，，…。其通项为；（4）数列：，，，…，，…。其通项为。上述各例中我们不难看出，当项数无限增大时，每个数列都有一定的变化趋势。有的无限趋于某一固定常值，有的是在某两个常数间跳动，有的随着项数无限增大而增大等。对于数列是否有一个确定的变化趋势，是否向着某个常值趋近是我们本章节讨论的重点。定义2对于数列与常数，如果当无限增大时，无限

4、接近于（即对任意小的正数，有），则称常数为数列的极限，记作或读作：当趋于无穷大时，趋于,亦称数列收敛于，反之，称数列是发散的。注：对于数列项数来说，只能取正整数。在以后讨论数列极限时，不再说明。讨论引例中数列的敛散性。数列是特殊的函数，项数为自变量，项为函数，通项（公式）为函数关系式。其中定义域为正整数集。A为常数（1）当无限增大时，无限接近于0,即，故数列是收敛的；（2）当无限增大时，无限增大,即极限不存在，通常也写成，故数列是发散的；（3）当无限增大时，在1和0之间跳跃,即极限不存在，故数列是发散的

5、；（4）当无限增大时，无限接近于1,即，故数列是收敛的；2．函数的极限上面我们讨论数列的极限，数列可看作自变量为，定义域为正整数集的函数。若不囿于数列中自变量只取正整数，扩展自变量的定义，可以由此引出实数自变量的函数的极限概念，以下分两种情况讨论。（1）当时，函数的极限定义3设函数在（为某个正实数)时有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数（即对任意小的正数，有），则称在这个变化过程中极限存在，且是以为极限的，记作或亦称当时函数收敛于，反之，若极限不存在，则称发散的。如果上述定义中，我们限制

6、取正，取负时，可以引出和时极限定义。定义4设函数为某个实数)内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，则称在此变化过程中极限存在，且是以为极限，记作或定义5设函数(为某个实数)内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，记作注意：函数在某点处的极限与函数在该点是否有定义、函数值是多少无关.或由上述定义，注意到当时，意味必须同时考虑和。从而我们容易得到下面定理：定理1极限存在，且等于的充要条件是：与都存在且等于，即（2）当时，函数的极限满足不等式（其中为大于0的常数）的一切，称为

7、点的领域，记作。它的几何意义为：以为中心，为半径的开区间。对于满足不等式（其中为大于0的常数）的一切，称为点的去心领域，记作。定义6设函数在点的去心邻域内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数（即对任意小的正数，有），则称在此变化过程中极限存在，且是以为极限，记作或亦称当时函数收敛于，反之，若极限不存在，则称发散的。在上述定义中，如果我们限制趋近于的方式，即可以引出和相应极限定义。定义7设函数在点的左半邻域内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，则称为当趋近于时函数的左极限

8、，记作或定义8设函数的右半邻域内有定义，如果当时，相应的函数值无限接近于某一个的常数，则称为当趋近于时函数的右极限，记作或一般地，左极限和右极限我们又统称为单侧极限，它考虑的是自变量趋近于的方向，所以应注意：左、右极限不能写成和。由上述定义，注意到当时，意味必须同时考虑和。从而我们容易得到下面定理：定理2极限存在，且等于的充要条件是：和都存在，且等于，即3．极限的性质在本教材中，凡不标明自变量六种变化过程的，符号均表示适用于各种情形。下面我