极限的概念教案

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1、【教学课题】：§1.2数列的极限（第一课时）【教学目的】：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。会应用数列极限的定义证明数列收敛及有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。【教学重点】：数列极限的概念。【教学难点】：数列极限的定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。一引言通过介绍我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，来介绍极限思想的最初萌芽。二、数列极限的定义．1定义（数列）：若函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列也可以写作简记为，其中称为该数列的通

2、项。2收敛数列描述性定义：一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。3数列极限的数学定义以为例，可观察出该数列具以下特性：①随着的无限增大，无限地接近。②随着的无限增大，与的距离无限减少。③随着的无限增大，无限减少，也就是说会任意小，只要充分大。如：要使，只要即可；　　要使，只要即可；5任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于，即是对任意给定正数

3、，总存在正整数，当时，有。此即以为极限的精确定义，记作或。定义设为数列，为实数,，若对，总，使得当时有则称数列收敛于,称为数列的极限。并记作或。由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把写成。若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。注意：关于：①的任意性。刻化与常数的接近程度，越小，表示与越近；②的固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式中的可用等来代替。从而“”可用“”代替；关于：相应性。一般地，随的改变而改变，因此常把看作来强调是依赖于的，一经给定，就

4、可以找到相应的一个。当然并不是唯一的，之后的任意的项数都可以作为。4举例说明如何用定义来验证数列极限例１　证明 。证，考察 ，可得。5于是可取，则当时，便有：。所以。例2　证明。证考察，因此对，只要，，上式就小于，故取，则当时，总有，即。例3证明证若，则结果显然成立。现设,记,由，得,因此取，所以,当时，便有。即。例4证明。证①=1时,，显然成立。②时，令，则所以为了要使，只需，可取。③时，令，则由,可得，可取。总之，当时，总有。55．数列极限证明的步骤(１)考察化简；(２)放大，通常适当放大或条件放大；(３)解，求出需要的；(４)用语言再顺着写下来。6．数列极限的几何理解在定

5、义１中，“当时有”“当时有”“当时有”所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有个（有限个）。反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个。　　　　　　　（　　　　　　　　　　　　）　　　　　　　　　　　　　　　　由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：　　定义任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以a为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

6、否定定义1　设为数列，为定数。若对，对，总存在，且，则称数列不收敛于。否定定义　若存在，使得数列中有无穷多项落在之外，则不以为极限。例５　证明和都是发散数列。证　(，，使得)取,则在之外所有满足的项有无穷多,显然都落在之外，所以不以任何a为极限。即数列发散。5例６设，作数列：，求证。证　由，故，数列和中落在之外的项至多只有有限项，所以落在之外的项也至多只有有限项，故由定义得。例７　设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，求证：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。证　设为收敛的数列，且，按定义，，数列中落在之外的项最多只有有限项，而数列是对增加、减少

7、、改变有限项之后得到的。故数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。三　小结本课时的主要内容要求：①使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。②会应用数列极限的定义证明数列的有关命题。③能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。5