高一数学竞赛.doc

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1、一、主要知识点梳理高一数学竞赛第三讲二次函数1.二次函数的解析式：用待定系数法求求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即：f(x)ax2bxc（一般式），f(x)a(xx1).(xx2)（零点式），和f(x)a(xm)2n（顶点式，顶点坐标为(m,n)）。2.最值问题：二次函数f(x)ax2bxc在区间[,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：（1）对称轴xb在区间左边或右边，函数在此区间上具有单调性；（2）x2ab在区间内；（3）要注意系数a的符2a号对抛物线开口方向的影

2、响。总之，二次函数单调性的“分水岭”是对称轴，开口方向不同，导致在对称轴两侧的单调规律将发生变化。3.根的分布：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间有着密切联系，要注意三者之间的相互转化。二次方程二、典型例题分析f(x)0二次函数f(x)ax2bxc二次不等式f(x)01.考点1.二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)和二次函数g(x)，m为常数，m0;对任意xR，f(x)f(m)且对任意xR总有常数x0使得g(x)g(x0)2；如果f(m)5,g(m)25,f(

3、x)g(x)x216x13.（1）求常数m的值；（2）求g(x)的解析式。2.函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(x)f(x)x1；（Ⅲ）若h(x)g(x)f(x)1在1,1上是增函数，求实数的取值范围。考点2.二次函数的最值及值域例2.函数量的值．f(x)=3x23x4m29，x∈[―m,1―m],该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变4考点3.二次方程根的分布情况例3.设f(x)3ax22

4、bxc，若abc0，f(0)f(1)0，求证：（Ⅰ）方程f(x)0有实根；（Ⅱ）2b1；a（Ⅲ）设x1,x2是方程f(x)0的两个实根，则32x1x2334.已知f(x)

5、x21

6、x2kx．（I）若k2，求方程f(x)0的解；（II）若关于x的方程f(x)0在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明114．x1x2三、巩固练习一、选择题1.函数y(2x)(6x)（）A.有最小值没有最大值B.有最大值没有最小值C.有最小值也有最大值D.没有最小值也没有最大值2.若关于x

7、的不等式x24xm对于x(0,1]恒成立,则()A.m4B.m3C.3m0D.m33.不等式ax2bx20的解集是(1,1),则a23b等于()A.4B.14C.10D.104.已知函数f(x)2mx22(4m)x1,g(x)mx,若对于任一实数xf(x)与g(x)至少有一个为正数,则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(,0)2二、填空题5.方程mx2围是(m1)xm2m20的两个实数根分别在区间（0，1）与（1，2）内，则实数m的

8、取值范6.若方程(1a)x2xa0有两正根，则参数a的取值范围是7.函数f(x)x2bxc,x0,x0,若f(4)f(0),f(2)2,则关于x的方程f(x)x解的个数为2,6.已知二次函数xf(x)对称轴为x0.2且f(3)f(2)，其图象顶点为A，图象与x轴交于点B(1,0)和点C，且ABC的面积为18，则此二次函数的解析式为8.若方程x24x3a恰有三个不相等的实数根，则实数a的值为。9.关于x的方程x2－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，求(α－1)2＋(β－

9、1)2的最小值.10.已知一次函数f(x)axb与二次函数g(x)ax2bxc满足abc,且abc0(a,b,cR).(Ⅰ)求证:函数yf(x)与yg(x)有两个不同交点A,B;(Ⅱ)设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取值范围;(Ⅲ)当x3时,f(x)g(x)恒成立.212．（2008年温州摇篮杯）设f(x)3ax2bxc,若abc0,f(0)0,f(1)0.（1）求证：方程f(x)0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若a,b,c都为正整数

10、，求abc的最小值。