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1、高一数学竞赛模拟试题一、选择题1.某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（D）A、B、C、D、2.已知均为正数,且都不等于1,若实数满足,则的值等于A、1B、2C、3D、43.函数的图象是（）用心爱心专心4.设集合,若,则中元素个数为(C).0.1.2.至少3个5.若，则的值为（B）A、0B、—1C、1D、以上均不对6.函数y=log2(x2－3x+2)的递增区间为（B）A、(－,1)B、(2,+)C、(－,)D、(,+)7.函数上为增函数,则实数a的取值范围是（D）A.B.C.D.8.盒子中有10只螺丝钉，其中有３只是坏的，
2、现从盒中随机地抽取4个，那么等于（C）SＡ．恰有１只是坏的概率Ｂ．恰有２只是好的概率Ｃ．至多２只是坏的概率Ｄ．４只全是好的概率9.如图:正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（B）A.90°B.45°C.60°D.30°10.已知的值等于（B）A.2或－2B.－2C.D.211.图输出的是（D）用心爱心专心Ａ．2005B．65Ｃ．64Ｄ．6312.方程，有两个不等实根，则实数的取值范围是：DA．B.C.D.二、填空题13.已知无论k为何实数，直线(2k+1)x-(k-2)y
3、-(k+8)＝0恒通过一个定点，则这个定点是 ；14.长方体中，已知，，则对角线的取值范围是．答案：（4，5）15.已知是定义在R上的函数，且，若，则的值为。16.如图，E、F分别为正方体的面，面的中心，则四边形用心爱心专心在该正方体的面上的射影可能是（填出所有可能的序号）三、解答题17.已知：.（1）求;（2）判断此函数的奇偶性;（3）若，求的值.18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明:BC⊥侧面PAB;用心爱心专心（Ⅱ）证明:侧面PAD⊥侧面PAB;（Ⅲ
4、）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小.19.已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4，高为6，点O是底面ABCD的中心，点P是RO的中点，点Q是△RBC的重心.（1）求证：面ROQ⊥面RBC；（2）求直线PQ与底面ABCD所成的角；（3）求异面直线PQ与BR所成的角的余弦值.用心爱心专心20.已知函数(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明.(3)讨论函数在定义域上的单调性如何？并思考函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直,若存在,求出A,B两点的坐标；若不存在,说明理由并加以证明.用心爱心专心参
5、考答案一、选择题DAACBBDCBBDD二、填空题13.(2,3)14.(4,5)16.②③15.解：，即函数的周期为8，故用心爱心专心三、解答题17.【解】：（1）因为所以=（2）由，且知所以此函数的定义域为：（-1，1）又由上可知此函数为奇函数.（3）由知得且解得所以的值为：18.解】：（Ⅰ）证:∵侧面PAB垂直于底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥侧面PAB.（Ⅱ）证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD在平面PAD上,所以,侧面PAD⊥侧面P
6、AB（Ⅲ）解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB.垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB.∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影,∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角,在△PAB和△BEC中,易求得PE=,在Rt△PEC中,∠PCE=45019.解：（1）∵正四棱锥R—ABCD中Q是△RBC的重心，∴RQ⊥BC又∵RO⊥底面ABCD，∴RO⊥BC，∵RO∩RQ=R，∴BC⊥平面ROQ∴平面ROQ⊥平面RBC（2）延长RQ交BC于点M，由PQ与OM不平行且共面，所以它们必相交，设PQ∩O
7、M=N，则∠PNO为直线PQ与底面ABCD所成的角，可求得，即直线PQ与底面ABCD所成的角为（3）在BC上取一点K，使则,计算可得，由此可求得PQ与BR所成的角为20.解（1）由所以的定义域（2）奇（3）不存在，因为在R上为增函数.证明：任设x1
