高中数学第一章导数及其应用1.5.3微积分基本定理学案苏教版选修2.pdf

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1、1.5.3微积分基本定理学习目标重点难点重点：微积分基本定理及利用定理求1．会用定积分求曲边梯形的面积．定积分．2．直观了解微积分基本定理的含义.难点：利用定积分求较复杂的图形的面积.微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，则bf(x)dx＝__________，亦即____________a＝F(b)－F(a)．预习交流1做一做：1x2dx＝________.0预习交流2做一做：π(cosx＋1)dx＝________.0预习交流3议一议：结合下列各图形，判断相应定积分的值的符号：(1)bf(x)dx____0

2、a(2)bg(x)dx____0a(3)bh(x)dx____0a在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引F(b)－F(a)bF′(x)dxa1预习交流1：提示：3预习交流2：提示：∵(sinx＋x)′＝cosx＋1，∴π(cosx＋1)dx＝π(sinx＋x)′dx＝sinπ＋π－(sin0＋0)＝π.00预习交流3：提示：(1)＞(2)＜(3)＞一、简单定积分的求解计算下列各定积分：(1)2xdx；01(2)(1－t3)dt；21(3)2dx；x10

3、(4)(cosx＋ex)dx；π(5)4t2dx；21(6)32x－dx.x21思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．1．若1(2x＋k)dx＝2，则k＝________.0π2．定积分2sin(－x)dx＝________.03．求下列定积分的值：(1)2xdx；11－x(2)3dx.x221．微积分基本定理是求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函1数的原函数，特别注意y＝的原函数是y＝lnx.x2．求定积分时要

4、注意积分变量，有时被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量．3．定积分的值可以是任意实数．二、分段函数与复合函数定积分的求解计算下列定积分：π1(1)5

5、x－3

6、dx；(2)2sin2xdx；(3)2e2xdx002思路分析：被积函数带绝对值号时，应写成分段函数形式，利用定积分性质求解．当被积函数次数较高时，可先进行适当变形、化简，再求解．x2，0≤x<1，1．设f(x)＝则2f(x)dx＝__________.2－x，10，1a(

7、2)求x2dx(a＞0)．a1．分段函数在区间[a，b]上的积分可化成几段积分之和的形式，分段时按原函数的各区间划分即可．2．当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的1求导区分开来．例如：对于被积函数y＝sin3x，其原函数应为y＝－cos3x，而其导数应3为y′＝3cos3x.三、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解已知抛物线y＝4－x2.(1)求该抛物线与x轴所围成图形的面积；(2)求该抛物线与直线x＝0，x＝3，y＝0所围成图形的面积．思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分

8、的关系．1．抛物线y＝x2－x与x轴围成的图形面积为__________．3π2．曲线y＝cosx0≤x≤与坐标轴所围成的面积为________．23．(2012山东高考)设a＞0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．11．(2012江

9、西高考)计算定积分(x2＋sinx)dx＝__________.112．若a2x＋dx＝3＋ln2，则a的值是__________．x123．定积分2x＋1dx＝________.124．定积分

10、x3

11、dx的值为________．1115．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积是__________．2x提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案：1活动与探究1：解：(1)∵x2′＝x，21∴2xdx＝2x2′dx＝2－0＝2

12、.2001(2)∵t－t4′＝1－t3，4111∴(1－t3)dt＝t－t4