2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.5.3+微积分基本定理

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1、1.5.3　微积分基本定理学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一　微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则ʃ(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？　　思考2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)?　　1．微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝，即ʃF′(x)dx＝．2．常见的原函数与被积函数关系(1)ʃCdx

2、＝Cx

3、(C为常数)．(2)ʃxndx＝(n≠－1)．(3)ʃsinxdx＝－cosx

4、.(4)ʃcosxdx＝sinx

5、.(5)ʃdx＝ln

6、x

7、

8、(b>a>0)．(6)ʃexdx＝ex

9、.(7)ʃaxdx＝(a>0且a≠1)．(8)ʃdx＝(b>a>0)．知识点二　定积分和曲边梯形面积的关系思考　定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？　设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则ʃf(x)dx＝．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则ʃf(x)dx＝．(

10、3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则ʃf(x)dx＝．特别地，若S上＝S下，则ʃf(x)dx＝.类型一　定积分的求法例1　(1)定积分ʃ(2x＋ex)dx的值为________．(2)ʃ

11、1－x2

12、dx＝________.(3)ʃ[－cosx]dx＝________.反思与感悟　(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解．跟踪训练1　(1)计算定积分ʃ

13、(x2＋sinx)dx＝______.(2)已知f(x)＝求ʃf(x)dx.　　　　　　　　类型二　利用定积分求参数例2　(1)已知2≤ʃ(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若ʃf(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．反思与感悟　(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限

14、与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．跟踪训练2　(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝ʃ(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．(2)已知ʃ[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求ab的取值范围．　　　　　　　　　　类型三　利用微积分基本定理求面积例3　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．　反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上

15、、下限．跟踪训练3　(1)如图，阴影部分由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成，则其面积为________．(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．　　　　　1．若ʃ(2x＋)dx＝3＋ln2，则a＝________.2．ʃ(x2－x)dx＝________.3．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃf(x)dx＝－2.求a，b，c的值．　　　　4．已知f(x)＝计算ʃf(x)dx.　　　　　5．求由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形

16、的面积．　　　　　　　　　1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．提醒：完成作业　1.5.3答案精析问题导学知识点一　思考1　由定积分的几何意义知，ʃ(2x＋1)dx＝×(1＋3)×

17、1＝2，F(1)－F(0)＝2，故ʃ(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．思考2　不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数C，都有[F(x)＋C]′＝F′(x)＋C′＝f(x)．1．F(b)－F(a)　F(b)－F(a)知识点二思考　当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等．(1)S上　(2)－S下(3)S