高中数学第1章导数及其应用1.5.3微积分基本定理学案苏教版选修2

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1、1.5.3　微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．[基础·初探]教材整理　微积分基本定理阅读教材P49“例1”以上部分，完成下列问题．对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，即F′(x)dx＝F(b)－F(a)．判断正误：(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　　)(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.(　　)(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函

2、数．(　　)【答案】　(1)√　(2)√　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：__________

3、_____________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]求简单函数的定积分　求下列定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)(cosx－ex)dx.【精彩点拨】　先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．【自主解答】　(1)取F(x)＝＋x2＋3x，则F′(x)＝x2＋2x＋3，从而(x2＋2x＋3)dx＝F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝.(2)取F(x)＝－cosx－

4、sinx，则F′(x)＝sinx－cosx，从而(sinx－cosx)dx＝F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.(3)取F(x)＝sinx－ex，则F′(x)＝cosx－ex，从而(cosx－ex)dx＝F′(x)dx＝F(0)－F(－π)＝－1.求简单的定积分关键注意两点(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1.dx＝________.【导学号：01580025】【解析】　dx＝dx＝－(ln1＋1)＝

5、ln2－.【答案】　ln2－求分段函数的定积分　计算下列定积分．(1)f(x)＝求f(x)dx；(2)

6、x2－1

7、dx.【精彩点拨】　(1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．【自主解答】　＋(x－1)dx＝(－cosx)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.(2)

8、x2－1

9、dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝2.1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和

10、的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：(

11、2x＋3

12、＋

13、3－2x

14、)dx.【解】　设f(x)＝

15、2x＋3

16、＋

17、3－2x

18、，x∈[－3,3]，则f(x)＝所以(

19、2x＋3

20、＋

21、3－2x

22、)dx＝－2×＋6×＋2×＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究1　满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)惟一吗？【提示】　不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．探究2　如何求对称区间上的定积分？【提示】　在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决

23、问题的方法尽可能简便．　已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．【精彩点拨】　设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．【自主解答】　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①又f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，所以＋b＝1.②由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分

24、上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)＝ax2＋bx(a