2018-2019学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.5 定积分 1.5.3 微积分基本定理讲义（含解析）苏教版选修2-2

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1、1．5.3　微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.问题1：f(x)和F(x)有何关系？提示：F′(x)＝f(x)．问题2：利用定积分的几何意义求(2x＋1)dx的值．提示：(2x＋1)dx＝6.问题3：求F(2)－F(0)的值．提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6.问题4：你得出什么结论？提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．问题5：已知f(x)＝x3，F(x)＝x4，试探究f(x)dx与F(1)－F(0)的关系．提示：因f(x)dx＝x3dx＝.F(1)－F(0)＝，有f(x)＝F(1)－F(0)且F′(x)

2、＝f(x)．微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，即F′(x)dx＝F(b)－F(a)．1．微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．求简单函数的定积分[例1]　求下列定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)(cosx－ex)dx.[思路点拨]　先求被积

3、函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析]　(1)取F(x)＝＋x2＋3x，则F′(x)＝x2＋2x＋3，从而(x2＋2x＋3)dx＝F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝.(2)取F(x)＝－cosx－sinx，则F′(x)＝sinx－cosx，从而(sinx－cosx)dx＝F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.(3)取F(x)＝sinx－ex，则F′(x)＝cosx－ex，从而(cosx－ex)dx＝F′()dx＝F(0)－F(－π)＝－1.[一点通]　求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求

4、时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝____________.解析：∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx.∴f(x)dx＝－.答案：＝－2.(cosx＋1)dx＝________.解析：∵(sinx＋x)′＝cosx＋1，∴(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)＝(sinπ＋π)－(sin0＋0)＝π.答案：π3．求下列定积分：(1)sin2dx；(2)(2－x2)(3－x)dx.解：(1)sin2＝－，而′＝－cosx，所以sin2d

5、x＝dx＝＝－＝.(2)原式＝(6－2x－3x2＋x3)dx＝＝－＝－.求分段函数的定积分[例2]　(1)设f(x)＝求f(x)dx；(2)求dx(a>0)．[思路点拨]　按照函数f(x)的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和．[精解详析]　(1)f(x)dx＝x2dx＋(cosx－1)dx＝x3＋(sinx－x)＝sin1－.(2)由＝得dx＝xdx＋(－x)dx＝x2－x2＝a2.[一点通]　(1)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.

6、x＋2

7、dx＝_______

8、_.解析：∵

9、x＋2

10、＝∴

11、x＋2

12、dx＝(x＋2)dx＋(－x－2)dx＝＋＝.答案：5．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.解析：显然f(1)＝lg1＝0，故f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝1，得a＝1.答案：1求图形的面积[例3]　求由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．[思路点拨]　→→.[精解详析]　画出草图，如图所示．解方程组得A(0,3)，B(3,6)．所以S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx，取F(x)＝x2＋3x，则F′(x)＝x＋3，取H(x)＝x3－x2＋3x，则H′(x)＝x2－2x＋3，从而S＝F(3)－F

13、(0)－[H(3)－H(0)]＝－0－＝.[一点通]　利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________．解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A(0，－2)，由得所以B(4,2)，因此所围成的图形