苏教版2020年高中数学选修2-1同步习题：第3章_空间向量与立体几何 章末检测试卷（三）_含答案.doc

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1、章末检测试卷(三)(时间：120分钟　满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是________．答案　5解析　∵a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5.2.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝________.(用a，b，c表示)答案　－a＋b＋c解析　如图，连结ON，由向量的加法法则，可知＝＋＝－＋(＋)＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.3．设i，j，k为单位正交基底，已知a＝3i＋2j－k，b＝

2、i－j＋2k，则5a·3b＝________.答案　－15解析　∵a＝(3,2，－1)，b＝(1，－1,2)，∴5a·3b＝15a·b＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面平行答案　平行或重合解析　∵平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，满足v＝－3u，∴α∥β或重合．5．若空间向量a，b满足

3、a

4、＝

5、b

6、＝1，且a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b＝________.答案　解析　由空间向

7、量数量积的性质，知a·a＝

8、a

9、2＝1.由空间向量数量积的定义，得a·b＝

10、a

11、

12、b

13、cos〈a，b〉＝1×1×cos60°＝，从而a·a＋a·b＝1＋＝.6．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD为________三角形．答案　直角解析　∵M为BC中点，∴＝(＋)．∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．7.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是________．(填序号)①；②(1，，1)

14、；③(1,1,1)；④(2，－2,1)．答案　①解析　由题意知，C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，则＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，则解得∴n＝(2,2,1)．又＝n，∴①正确．8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A－CD－B的大小为________．答案　120°解析　如图，取CD中点E，在平面BCD内过点B作BF⊥CD，交CD延长线于点F.据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB

15、＝.且〈，〉为二面角的平面角，由2＝(＋＋)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，∴cos〈，〉＝－，又∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝120°.即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若以{，，}为基底，则＝________.答案　－－＋解析　＝－＝＋－＝＋－(＋)＝＋－－－＝－－＋.10.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝8，AD＝6，AA′＝8，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．答案　18解析　

16、∵＝＋＝＋＋，

17、

18、2＝(＋＋)2＝

19、

20、2＋

21、

22、2＋

23、

24、2＋2(·＋·＋·)＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324，∴

25、

26、＝＝18.11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为________．答案　解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以点S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系S－xyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为

27、＝，＝，所以

28、

29、＝，

30、

31、＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．答案　解析　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.所以

32、

33、＝，即AD的长为.13．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________

34、．答案　解析　设Q(x，