苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.1.5含答案

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1、苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义3.1.5 空间向量的数量积学习目标 1.理解空间向量的夹角及有关概念.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直,会求空间两向量的夹角.知识点一 空间向量的夹角1.定义:a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.2.图形表示:角度表示〈a,b〉=0〈a,b〉是锐角〈a,b〉是直角〈a,b〉是钝角〈a,b〉=π3.范围:0≤〈a,b〉≤π.4.空间向量的垂直:如果〈a,b

2、〉=,那么称a与b互相垂直,记作a⊥b.知识点二 空间向量的数量积思考 两个向量的数量积是数量,还是向量?答案 数量,由数量积的定义a·b=

3、a

4、

5、b

6、cos〈a,b〉,知其为数量而非向量.梳理 (1)定义:①设a,b是空间两个非零向量,把数量

7、a

8、

9、b

10、cos〈a,b〉叫做a,b的数量积.②记作:a·b,即a·b=

11、a

12、

13、b

14、cos〈a,b〉.(2)运算律:14苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义交换律a·b=b·a数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)分配律a·(b+c)=a·b+a·c(3)坐标表示:已知非零向量a,b,a=(

15、x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则①a·b=x1x2+y1y2+z1z2.②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.③

16、a

17、==.④cos〈a,b〉=.知识点三 空间中两点间的距离公式思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗?答案 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根,因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.梳理 在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=.1.若a·b=0,则a=0或b=0.(×)2.〈a,b〉与(a,b)都表示直角坐标系下的点.(×)3.在△ABC中,〈,〉=

18、∠B.(×)4.对于向量a,总有

19、a

20、2=a2.(√)类型一 空间向量的数量积运算例1 (1)下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明.①p2·q2=(p·q)2;②

21、p+q

22、·

23、p-q

24、=

25、p2-q2

26、;③若a与(a·b)·c-(a·c)·b均不为0,则它们垂直.解 ①此命题不正确.∵p2·q2=

27、p

28、2·

29、q

30、2,14苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义而(p·q)2=(

31、p

32、·

33、q

34、·cos〈p,q〉)2=

35、p

36、2·

37、q

38、2·cos2〈p,q〉,∴当且仅当p∥q时,p2·q2=(p·q)2.②此命题不正确.∵

39、p2-q2

40、=

41、(p+q)·(

42、p-q)

43、=

44、p+q

45、·

46、p-q

47、·

48、cos〈p+q,p-q〉

49、,∴当且仅当(p+q)∥(p-q)时,

50、p+q

51、·

52、p-q

53、=

54、p2-q2

55、.③此命题正确.∵a·[(a·b)·c-(a·c)·b]=a·(a·b)·c-a·(a·c)·b=(a·b)(a·c)-(a·b)(a·c)=0,且a与(a·b)·c-(a·c)·b均为非零向量,∴a与(a·b)·c-(a·c)·b垂直.(2)设θ=〈a,b〉=120°,

56、a

57、=3,

58、b

59、=4,求:①a·b;②(3a-2b)·(a+2b).解 ①∵a·b=

60、a

61、

62、b

63、cos〈a,b〉,∴a·b=3×4×cos120°=-

64、6.②∵(3a-2b)·(a+2b)=3

65、a

66、2+4a·b-4

67、b

68、2=3

69、a

70、2+4

71、a

72、

73、b

74、cos120°-4

75、b

76、2,∴(3a-2b)·(a+2b)=3×9+4×3×4×-4×16=27-24-64=-61.反思与感悟 1.已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=

77、a

78、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么

79、a+3b

80、=________.答案 解析 ∵

81、a+3b

82、2=(a+3b)2=a2+6

83、a·b+9b2=1+6×cos60°+9=13,∴

84、a+3b

85、=.命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1)·;(2)·;(3)·.14苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义解 如图,设=a,=b,=c,则

86、a

87、=

88、c

89、=2,

90、b

91、=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=·(+)=b·=

92、b

93、2=42=16.(2)·=(+)·(+)=·(a+c)=

94、c

95、2-

96、a

97、2=22-22=0.(3)·=(+)·(+)=

98、·=(-a+b+c)·=-

99、a

100、2+

101、b

102、2=2.反

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