2、D.+y2=1解析:依题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1,故选A.答案:A4、椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若
3、AF1
4、,
5、F1F2
6、,
7、F1B
8、成等差数列,则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.-2解析:由题意可得2
9、F1F2
10、=
11、AF1
12、+
13、F1B
14、,即4c=a-c+a+c=2a,故e==.答案:A5、已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=
15、,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.B.C、1D.解析:如图,假设F1,F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点,P是第一象限的点,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义得
16、PF1
17、+
18、PF2
19、=2a1,
20、PF1
21、-
22、PF2
23、=2a2,∴
24、PF1
25、=a1+a2,
26、PF2
27、=a1-a2.设
28、F1F2
29、=2c,又∠F1PF2=,则在△PF1F2中,由余弦定理得,4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,化简得,(2-)a+(2+)a=4c2,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,∴+
30、=4,又+≥2=,∴≤4,即e1·e2≥,即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选B.答案:B6、若x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是、解析:将椭圆的方程化为标准形式得+=1,因为x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,所以>2,解得0b>0)的离心率等于,其焦点
31、分别为A,B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于、解析:在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知
32、CA
33、+
34、CB
35、=2a,而
36、AB
37、=2c,所以===3.答案:39、已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,满足
38、AF2
39、=c.(1)求椭圆C的离心率;(2)M,N是椭圆C短轴的两个端点,设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点),直线MP,NP分别和x轴相交于R,Q两点,O为坐标原点、若
40、
41、·
42、
43、=4,求椭圆C的方程、解析:(1)∵
44、点A的横坐标为c,代入椭圆,得+=1.解得
45、y
46、==
47、AF2
48、,即=c,∴a2-c2=ac.∴e2+e-1=0,解得e=.(2)设M(0,b),N(0,-b),P(x0,y0),则直线MP的方程为y=x+b.令y=0,得点R的横坐标为.直线NP的方程为y=x-b.令y=0,得点Q的横坐标为.∴
49、
50、·
51、
52、===a2=4,∴c2=3,b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.10、(2018·沈阳模拟)椭圆C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在A,M之间、又线段AB的中点的横坐标为,且=λ.(1)求椭圆C的标准方程
53、、(2)求实数λ的值、解析:(1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意可知A,B,M三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2)、若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意、则AB所在直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x-4)、由消去y得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.①由①的判别式Δ=322k4-4(4k2+3)·(64k2-12)=144(1-4k2)>0,解得k2<,且由==,可得k2=,将k2=代入方程①,得7x2-8x-8=0.则x1=,x2=.又因为=(4