2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第12章选4系列 12.1 坐标系 Word版含解析..pdf

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1、第12章选4系列12．1坐标系[知识梳理]1．伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λxλ>0，的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称y′＝μyμ>0φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，yy＝ρsinθ；tanθ＝xx≠0.[诊断自测

2、]1．概念思辨(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为3π2，4.()(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．教材衍化(1)(选修A4－4PT)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负154半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()1π

3、A．ρ＝，0≤θ≤cosθ＋sinθ21πB．ρ＝，0≤θ≤cosθ＋sinθ4πC．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤2πD．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤4答案A解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；1π∴ρ＝0≤θ≤2.故选A.sinθ＋cosθ(2)(选修A4－4PT)通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变85x＋12y－12换，可以把椭圆＋＝1变为圆心在原点的单位圆，求上94述平移变换和伸缩变换，以及这两种变换的合成的变换．x′＝x＋1，x＋12y－12解

4、先通过平移变换把椭圆＋＝194y′＝y－1，x′x″＝，x′2y′23x′2变为椭圆＋＝1；再通过伸缩变换把椭圆94y′9y″＝，2y′2＋＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.4x＋1x″＝，3上述两种变换的合成变换是y－1y″＝.23．小题热身π(1)(2017·东营模拟)在极坐标系中，已知点P2，6，则过点P且平行于极轴的直线方程是()A．ρsinθ＝1B．ρsinθ＝3C．ρcosθ＝1D．ρcosθ＝3答案Aπ解析先将极坐标化成直角坐标表示，P2，转化为点x＝ρcosθ6ππ＝2cos＝3，y＝

5、ρsinθ＝2sin＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行66于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.故选A.(2)(2016·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则

6、AB

7、＝________.答案2解析将ρcosθ－3ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x－3y－1＝0，将ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，又(1,0)在直线x－3y－1＝0上，所以

8、AB

9、＝2r＝2.题型1平面直角坐标系中的伸缩变换典例将圆x2＋y

10、2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P，P，以坐标原点为12极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段PP的中点且与l12垂直的直线的极坐标方程．由题意找出(x，y)与(x，y)的关系，采用代入法求解．11解(1)设(x，y)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点(x，11y)，x＝x，1依题意，得y＝2y，1y由x2＋y2＝1得x2＋2＝1，112y2故曲线C的方程为x2＋＝1.4y2x2＋＝1，x＝1，x＝0

11、，(2)由4解得或2x＋y－2＝0，y＝0y＝2.1不妨设P(1,0)，P(0,2)，则线段PP的中点坐标为，1，所求121221直线斜率为k＝，211于是所求直线方程为y－1＝x－，22化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，3故所求直线的极坐标方程为ρ＝.4sinθ－2cosθ方法技巧伸缩变换后方程的求法x′＝λxλ>0，平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变y′＝μyμ>0x′x＝，λy′x′换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之

12、y′μλy＝μ后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．见典例．提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．冲关针