2020版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第12章 选4系列 12.3 绝对值不等式 Word版含解析..pdf

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1、12.3绝对值不等式[知识梳理]1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么

8、a－c

9、≤

10、a－b

11、＋

12、b－c

13、.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①

14、a＋a＋…＋a

15、≤

16、a

17、＋

18、a

19、＋…＋

20、a

21、.12n12n②

22、

23、a

24、－

25、b

26、

27、≤

28、a±b

29、≤

30、a

31、＋

32、b

33、.2．绝对值不等式的解法(1)形如

34、ax＋b

35、≥

36、cx＋d

37、的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式

38、x

39、>a与

40、x

41、

42、．②

43、ax＋b

44、≤c(c>0)和

45、ax＋b

46、≥c(c>0)型不等式的解法．

47、ax＋b

48、≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，

49、ax＋b

50、≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．[诊断自测]1．概念思辨(1)不等式

51、x－1

52、＋

53、x＋2

54、<2的解集为∅.()(2)若

55、x

56、>c的解集为R，则c≤0.()(3)

57、ax＋b

58、≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.()(4)对

59、a－b

60、≤

61、a

62、＋

63、b

64、当且仅当ab≤0时等号成立．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A4－5PT)解不等式

65、2x＋1

66、＋

67、x－2

68、>4.1951解当x≤－时，原不等式可化为－2x

69、－1＋2－x>4，所以x<－21，此时x<－1；1当－4，所以x>1，此2时14，所以x>，此时x≥2.3综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)(选修A4－5PT)设函数f(x)＝

70、x－4

71、＋

72、x－3

73、.209①解不等式f(x)≥3；②若f(x)≥a对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解①当x≤3时，原不等式可化为4－x＋3－x≥3，即x≤2，所以x≤2；当3

74、，即x≥5，所以x≥5.综上，原不等式的解集为{x

75、x≤2或x≥5}．②f(x)≥a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≤f(x).min因为f(x)＝

76、x－4

77、＋

78、x－3

79、≥

80、(x－4)－(x－3)

81、＝1，即f(x)的最小值为1，所以a≤1.即实数a的取值范围是(－∞，1]．3．小题热身(1)(2015·山东高考)不等式

82、x－1

83、－

84、x－5

85、<2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)答案A解析①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，∴x<1.②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x<4.③当x>5

86、时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x<4.故选A.1(2)(2014·重庆高考)若不等式

87、2x－1

88、＋

89、x＋2

90、≥a2＋a＋2对任意2实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．1答案－1，25解析令f(x)＝

91、2x－1

92、＋

93、x＋2

94、，易求得f(x)＝，依题意得a2min2151＋a＋2≤－1≤a≤.222题型1绝对值不等式的解法典例(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

95、x＋1

96、－

97、2x－3

98、.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式

99、f(x)

100、>1的解集．(1)去绝对值符号转化为分段函数；(2)根据(1)作出的图象，采用

101、数形结合方法求解．x－4，x≤－1，33x－2，－1，2y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；1当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，31故f(x)>1的解集为{x

102、15.31所以

103、f(x)

104、>1的解集为xx<或15.3方法技巧解

105、x－a

106、＋

107、x－b

108、≥c或

109、x－a

110、＋

111、x－b

112、≤c的一般步骤1．零点分段法(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；(2)将这些根按从小

113、到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．2．利用

114、x－a

115、＋

116、x－b

117、的几何意义数轴上到点x＝a和x＝b的距离之和大于c的全体，

118、x－a

119、＋

120、x12－b

121、≥

122、x－a－(x－b)

123、＝

124、a－b

125、.3．图象法：作出函数y＝

126、x－a

127、＋

128、x－b

129、和y＝c的图象，结合图12象求解．见典例．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值