2020版新学优数学同步人教A必修五精练：1.2 第3课时 三角形中的几何计算 Word版含解析.pdf

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1、第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A.B.±C.-D.±解析由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±.答案B2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元解析由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.答案C

2、3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于()A.1+B.C.D.2+解析由acsin30°=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.答案A4.在△ABC中,若AC=BC,C=,S=sin2A,则S=()△ABC△ABCA.B.C.D.2解析因为AB2=BC2+3BC2-2×BC×BC×=BC2,所以A=C=,所以S=sin2A=,故选A.△ABC答案A5.若△ABC的周长等于20,面积是10,B=60°,则边AC的长是

3、()A.5B.6C.7D.8解析在△ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,由题意,得°--即解得b=7,故边AC的长为7.°答案C-6.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=.-解析在△ABC中,S=,△ABC-而S=absinC,∴absinC.△ABC由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,∴cosC=sinC,∴C=45°.答案45°7.已知三角形的面积为,其外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积等于.解析设三角形的外接圆半径为R,则由πR2=π,得R=1.由S=absinC=,故abc=1.答案18.在△ABC

4、中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c-.-证明由余弦定理的推论得cosB=,-cosA=,代入等式右边,得--右边=c---==左边,故原式得证.9.如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=,且AD=BD,求△ABC的面积.解设CD=x,则AD=BD=5-x.在△CAD中,由余弦定理,得--cos∠CAD=,解得x=1.-∴CD=1,AD=BD=4.在△CAD中,由正弦定理,得,则sinC=-=4-.,故△ABC的面积为.∴S=AC·BC·sinC=×4×5×△ABC10.若△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-

5、b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC,∴c2-(a-b)2=2ab(1-cosC),即S=2ab(1-cosC).∵S=absinC,∴sinC=4(1-cosC).又sin2C+cos2C=1,∴17cos2C-32cosC+15=0,解得cosC=或cosC=1(舍去).∴sinC=,∴S=absinC=a(2-a)=-(a-1)2+.∵a+b=2,∴0

6、,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,c=5,sinC=,则△ABC的面积等于()A.10B.C.D.解析在钝角三角形ABC中,∵a=7,c=5,sinC=,∴A>C,C为锐角,且cosC=-.由-c2=a2+b2-2abcosC,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cosB=->0,∴b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.∴S=absinC=×7×3×.△ABC答案C2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=4csinA,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A.B.C.D.解析由3

7、acosC=4csinA,得.又由正弦定理,得,∴tanC=,∴sinC=.又S=bcsinA=10,b=4,∴csinA=5.根据正弦定理,得a=,故选B.答案B3.如图,平面四边形ABCD中,∠BAD=45°,CB⊥AB,CD⊥AD,CD=2,CB=1.则△ABD的面积为.解析∵∠BAD=45°,CB⊥AB,CD⊥AD,∴∠BCD=360°-(90°+90°+45°)=135°,在△BCD中,CD=2,CB=1,由余弦定理可得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos∠BCD=8+1-2×2×1×-=13,.∴AC=.则BD=.∴△CBD的外接