2020年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：专题突破练3数列中的高考热点问题理北师大版_75.pdf

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1、专题突破练(三)数列中的高考热点问题1．(2017·北京高考)已知等差数列{a}和等比数列{b}满足a＝b＝1，a＋a＝10，bb＝nn112424a.5(1)求{a}的通项公式；n(2)求和：b＋b＋b＋…＋b.1352n－1[解](1)设等差数列{a}的公差为d.n因为a＋a＝10，所以2a＋4d＝10，241解得d＝2，所以a＝2n－1.n(2)设等比数列{b}的公比为q，n因为bb＝a，所以bqbq3＝9，解得q2＝3，24511所以b＝bq2n－2＝3n－1.2n－113n－1从而b＋b＋b＋…＋b＝1＋3＋32＋…

2、＋3n－1＝.1352n－122．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{a}的前nn项和为S，点(n，S)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图像上．nn＋(1)求数列{a}的通项公式；n3(2)设b＝，试求数列{b}的前n项和T.naannnn＋1[解](1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，S)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图像上，n＋所以S＝3n2－2n.n当

3、n≥2时，a＝S－S＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；nnn－1当n＝1时，a＝S＝3×12－2×1＝6×1－5，11所以a＝6n－5(n∈N)．n＋33(2)由(1)得b＝＝naa(6n－5)[6(n＋1)－5]nn＋1111＝－，26n－56n＋1111111故T＝1－＋－＋…＋－＝n277136n－56n＋1113n1－＝.26n＋16n＋13．已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝1，S＝6.正项数列{b}满足b·b·b·

4、…·bnn13n123nS＝2n.(1)求数列{a}，{b}的通项公式；nn(2)若λb>a，对n∈N均成立，求实数λ的取值范围.nn＋【导学号：79140187】[解](1)∵等差数列{a}中，a＝1，S＝6，n13∴d＝1，故a＝n.nSb·b·b·…·b＝2n，①123n由S②b·b·b·…·b＝2n－1，123n－1S－Sa①÷②得b＝2nn－1＝2n＝2n(n≥2)，nSb＝21＝21＝2，满足通项公式，1故b＝2n.nn(2)λb>a恒成立，即λ>恒成立，nn2nncn＋1设c＝，则n＋1＝，n2nc2n

5、n当n≥1时，c≤c，{c}单调递减，n＋1nn11∴(c)＝c＝，故λ>，nmax1221∴λ的取值范围是，＋∞.24．(2017·山东高考)已知{x}是各项均为正数的等比数列，且x＋x＝3，x－x＝2.n1232(1)求数列{x}的通项公式；n(2)如图1，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P(x1)，P(x2)，…，P(x11,22,n＋1n，n＋1)得到折线PP…P，求由该折线与直线y＝0，x＝x，x＝x所围成的区＋112n＋11n＋1域的面积T.n图1[解](1)设数列{x}的公比为q.nx＋xq＝

6、3，11由题意得所以3q2－5q－2＝0.xq2－xq＝2，11由已知得q>0，所以q＝2，x＝1.1因此数列{x}的通项公式为x＝2n－1.nn(2)过P，P，…，P向x轴作垂线，垂足分别为Q，Q，…，Q.12n＋112n＋1由(1)得x－x＝2n－2n－1＝2n－1.n＋1n记梯形PPQQ的面积为b.nn＋1n＋1nn(n＋n＋1)由题意得b＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，n2所以T＝b＋b＋…＋b＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－n12n2.①又2T＝3×20＋

7、5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②n①－②得－T＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1n32(1－2n－1)＝＋－(2n＋1)×2n－1，21－2(2n－1)×2n＋1所以T＝.n2