2019年高考数学一轮复习 专题探究课3 数列中的高考热点问题 理 北师大版

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1、三)　数列中的高考热点问题(对应学生用书第90页)[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．　已知等差数列{an}，公差d＝2，S1

2、，S2，S4成等比数列．(1)求an；(2)令bn＝(－1)n，求{bn}的前n项和Tn.[解]　(1)∵S1，S2，S4成等比数列．∴S＝S1S4，∴(2a1＋2)2＝a1解得a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)bn＝(－1)n·＝(－1)n·＝(－1)n.∴当n为偶数时，{bn}的前n项和Tn＝－＋－…＋＝－1＋＝，当n为奇数时，{bn}的前n项和Tn＝－＋－…－＝－1－＝－.故Tn＝[规律方法]　1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数

3、列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列.2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.[跟踪训练]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an

4、＝0(n≥1)．若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg2.所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg2.b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg

5、数列的前6项和最大．数列的通项与求和(答题模板)数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法．常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．　(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[规范解答]　(1)由已知，a1b2＋b2＝

6、b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.3分所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.5分(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，7分因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.9分记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.12分[阅卷者说]易错点防范措施不知道如何求出a1加强赋值法的训练，明确递推式anbn＋1＋bn＋1＝nbn对任意n∈N＋均成立，欲求a1，只需令n＝1即可．不会应用第(1)问的结果事实上，一个解答题设计几问，后一问的解答，应有意识的应用前一

7、问的结果.[规律方法]　若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法.[跟踪训练]　(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.[解]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝

8、qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，an，Sn等为坐