2019年高考数学一轮复习 专题突破练3 数列中的高考热点问题 理 北师大版

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1、专题突破练(三)　数列中的高考热点问题1．(2017·北京高考)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.2．已知二次函

2、数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.[解]　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n

3、＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，所以an＝6n－5(n∈N＋)．(2)由(1)得bn＝＝＝，故Tn＝＝＝.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6.正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn>an，对n∈N＋均成立，求实数λ的取值范围.【导学号：79140187】[解]　(1)∵等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n.由①÷②得bn＝2＝2＝2n(n≥2)，b1＝2＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.(2)λbn>an恒成立，即λ>恒成

4、立，设cn＝，则＝，当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}单调递减，∴(cn)max＝c1＝，故λ>，∴λ的取值范围是.4．(2017·山东高考)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图1，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.图1[解]　(1)设数列{xn}的公比为q.由题意得所以3q2－5q－2＝0.由已知得q>0，所以q＝2，

5、x1＝1.因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1.记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn.由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－

6、1＝＋－(2n＋1)×2n－1，所以Tn＝.