2020年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1_.pdf

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1、2.3.1抛物线及其标准方程学习目标:1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.(易错点)3.明确p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题.(难点)[自主预习·探新知]1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.思考1:抛物线的定义中,若点F在直线l上,那么点的轨迹是什么?[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.2.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程ppy2=2px(p>0)F,0x=-22

2、-ppy2=-2px(p>0)F,0x=22ppx2=2py(p>0)F0,y=-22-ppx2=-2py(p>0)F0,y=22思考2:(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么?(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置?[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)根据抛物线方程中一次式±2px,±2py来确定焦点位置,“x,y”表示焦点在x轴或y轴上,系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上.[基础自测]1.思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.()(2)抛物线是双曲线的一支.()(3)抛物

3、线的标准方程有四种不同的形式,它们的共同点为“顶点在原点,焦点在坐标轴上.”()[答案](1)×(2)×(3)√2.抛物线y2=-8x的焦点坐标是()A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)pB[抛物线y2=-8x的焦点在x轴的负半轴上,且=2,因此焦点坐标是(-2,0).]23.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.8C[由y2=8x得p=4,即焦点到准线的距离为4.]4.抛物线x=4y2的准线方程是()【导学号:97792096】1A.y=B.y=-1211C.x=-D.x=16811C[由x=4y2得y2=x,故准

4、线方程为x=-.]416[合作探究·攻重难]求抛物线的标准方程根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:2(1)准线方程为y=;3(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;(3)经过点(-3,-1);(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.[思路探究](1)(2)由题意可确定方程形式→求出p→写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程p24[解](1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴,且=,则p=,所以所求抛物线的标2338准方程为x2=-y.3(2)

5、已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知

6、m

7、=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(3)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).1若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=;69若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=.21∴所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.3(4)对于直线方程3x-4y

8、-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).p当焦点为(0,-3)时,=3,∴p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;2p当焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.2∴所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.[规律方法]1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系.(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数.p(3)注意p与的几何意义.2[跟踪训

9、练]1.根据下列条件确定抛物线的标准方程.(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);(2)过点(4,-8);(3)焦点在x-2y-4=0上.[解](1)法一:设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)代入方程,11得(-1)2=-2p·(-3),解得p=,所以所求抛物线方程为x2=-y.63法二:由已知,抛物线的焦点在y轴上,因此设抛物线的方程为x2=my(m≠0).又抛物11线过点(-1,-3),所以1=m·(-3),即m=-,所以所求抛物线方程为x2=-y.33(2)法一:设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p′y(p′>0)

10、,将点(4

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