2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教b版

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1、2．3.1　抛物线及其标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程的求法.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一　抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．知识点二　抛物线的标准方程图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦点坐标准线方程x＝－x＝y＝－y＝1．在平面内，点P到点F和到直线l

2、的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)2．抛物线其实就是双曲线的一支．(　×　)3．抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定．(　×　)题型一　求抛物线的标准方程例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线的方程解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝

3、－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟　求抛物线的标

4、准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意　当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线的方程解　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y

5、.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知

6、m

7、＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.题型二　抛物线定义的应用命题角度1　利用抛物线定义求轨迹(方程)例2　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．考点　题点　解　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点

8、)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．反思感悟　解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2　已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用解　设动点M(x，

9、y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则

10、MA

11、＝

12、MN

13、，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.命题角度2　利用抛物线定义求最值或点的坐标例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P(x0，y0)是抛物线上一点．(1)若

14、PF

15、＝x0，求x0；(2)已知点A(3,2)，求

16、PA

17、＋

18、PF

19、的最小值，并求此时P点坐标．考点　求抛物线的最值问题题点　根据抛物线定义转换求最值解　(1

20、)由题意知抛物线的准线为x＝－，根据抛物线的定义可得，x0＋＝

21、PF

22、＝x0，解得x0＝2.(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求

23、PA

24、＋

25、PF

26、的最小值的问题可转化为求

27、PA

28、＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴