高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案（含解析）新人教A版

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1、§2.3　抛物线2.3.1　抛物线及其标准方程学习目标　1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一　抛物线的定义思考1　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案　连接两定点所得线段的垂直平分线．思考2　平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？答案　曲线梳理　(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫抛物线．(2)焦点：定点F叫抛物线的焦点．(3)准线：定直线l叫抛物线的准线．知识点二　

2、抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(　×　)3．方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口

3、向上的抛物线．(　×　)类型一　求抛物线的标准方程例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线方程解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.方法二　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝

4、by(b≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.反思与感悟　求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．②直接根据定义求p，最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．跟踪训练1　已知抛物线的方程如下，

5、求其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x(a≠0)．考点　抛物线的几何性质题点　与准线、焦点有关的简单几何性质解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，2p＝6，p＝3，＝，所以焦点坐标为，准线方程为x＝.(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，知抛物线开口向下，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为y＝.(3)将y＝4x2化为x2＝y，知抛物线开口向上，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－.(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，2p＝a2，p＝，＝，所以焦点坐标

6、为，准线方程为x＝－.类型二　抛物线定义的应用例2　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．考点　抛物线的定义题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案　y2＝8x解析　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以

7、MC

8、＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以

9、MC

10、＝d＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线

11、的抛物线，且＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.反思与感悟　(1)确定定点与定直线(定点在定直线外)．(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线．跟踪训练2　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．考点　抛物线的定义题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程解　由位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故