2020届高考数学(北师大版理)大一轮复习配套练习：第十四章 系列4选讲 第2讲 不等式的证明 Word版含答案.pdf

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1、第2讲不等式的证明1.设不等式

2、2x－1

3、＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解(1)由

4、2x－1

5、＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x

6、0＜x＜1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜a11＋＋.bc证明法一∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，111111＋＋＋111bccaab111∴

7、a＋b＋c＝＋＋＜＋＋＝＋＋.bccaab222abc111∴a＋b＋c＜＋＋.abc111法二∵＋≥2＝2c；abab111111＋≥2＝2a；＋≥2＝2b.bcbccaac111∴以上三式相加，得＋＋≥a＋b＋c.abc111又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞a＋b＋c.abc法三∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，111bc＋caca＋abab＋bc∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞abc2＋a2bc＋ab2c＝abc222a＋b＋c.111∴a＋b＋c＜＋＋.abc3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝

8、x－3

9、.(1)若

10、不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；f（ab）b(2)若

11、a

12、＜1，

13、b

14、＜3，且a≠0，判断与f的大小，并说明理由.

15、a

16、a解(1)因为f(x－1)＋f(x)＝

17、x－4

18、＋

19、x－3

20、≥

21、x－4＋3－x

22、＝1，不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，则1≥a即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1].f（ab）b(2)＞f.

23、a

24、af（ab）b证明：要证＞f，

25、a

26、a只需证

27、ab－3

28、＞

29、b－3a

30、，即证(ab－3)2＞(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)

31、2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9).因为

32、a

33、＜1，

34、b

35、＜3，所以(ab－3)2＞(b－3a)2成立，所以原不等式成立.4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式

36、x＋a

37、＜b的解集为{x

38、2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值.解(1)由

39、x＋a

40、＜b，得－b－a＜x＜b－a，－b－a＝2，a＝－3，则解得b－a＝4，b＝1.(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t≤[（3）2＋12][（（4－t））2＋（t）2]＝24－t＋t＝4，4－tt当且仅当＝，31即t＝1时等

41、号成立，故(－3t＋12＋t)＝4.max5.(2015·全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是

42、a－b

43、＜

44、c－d

45、的充要条件.证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若

46、a－b

47、＜

48、c－d

49、，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.

50、②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此

51、a－b

52、＜

53、c－d

54、.综上，a＋b＞c＋d是

55、a－b

56、＜

57、c－d

58、的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则a＋1＋b＋1＋c＋1≤32.证明(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，需证b(a2＋c2－2ac

59、)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立.(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知a＋1＋2a＋3a＋1·2≤＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，b＋1·2≤22b＋1＋2b＋3c＋1＋2c＋3＝，当且仅当b＋1＝2时，取等号，c＋1·2≤＝，2222当且仅当c＋1＝2时，取等号，abc9以上三式相加，得2(a＋1＋b＋1＋c＋1)≤＝6，2所以a＋1＋b＋1＋c＋1≤32，当且仅当a＝b＝c

60、＝1时，取等号.