2020大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：16 利用导数证明不等式专题 Word版含解析.pdf

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1、课时作业提升(十六)利用导数证明不等式专题A组夯实基础1．(2018·惠州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx(a∈R)．当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2.证明：当a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx，要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2，只需证明ex－lnx－2＞0，设g(x)＝ex－lnx－2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0.11令g′(x)＝ex－＝0得ex＝，xx1容易知道该方程有唯一解，不妨设为x，则x满足ex＝.000x0当x变化时，g′(x)和g(x)变化情况如下表x(0，x)x(x，＋∞)000g′(x)－0＋

2、g(x)极小值1g(x)＝g(x)＝ex－lnx－2＝＋x－2.min000x00因为x＞0，且x≠1，所以g(x)＞21－2＝0，因此不等式得证．00min2．(2018·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝mex－lnx－1.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当m≥1时，证明：f(x)＞1.1(1)解：当m＝1时，f(x)＝ex－lnx－1，所以f′(x)＝ex－.x所以f(1)＝e－1，f′(1)＝e－1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.(2)证明：当m≥1时，f(

3、x)＝mex－lnx－1≥ex－lnx－1.要证明f(x)＞1，只需证明ex－lnx－2＞0.1设g(x)＝ex－lnx－2，则g′(x)＝ex－.x11设h(x)＝ex－，则h′(x)＝ex＋＞0，xx21所以函数h(x)＝g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增．x11因为g′2＝e2－2＜0，g′(1)＝e－1＞0，11所以函数g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上有唯一零点x，且x∈2，1.x001因为g′(x)＝0，所以ex＝，即lnx＝－x.00x000当x∈(0，x)时，g′(x)＜0；当x∈(x，＋∞)时，g′(x)＞0.00所以当x＝x时，g(x)取得

4、最小值g(x)．001故g(x)≥g(x)＝ex－lnx－2＝＋x－2＞0.000x00综上可知，当m≥1时，f(x)＞1.3．(2018·南充质检)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；12(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，lnx＞－恒成立．exex3(1)解：由题意知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a≤2lnx＋x＋，x3x＋3x－1设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.xx2①当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．②当

5、x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)＝h(1)＝4，对一切x∈(0，min＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)＝4，即实数a的取值范围是(－∞，4]．minx2(2)证明：问题等价于证明xlnx＞－(x∈(0，＋∞))．exe又f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1，1当x∈0，时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；e1当x∈e，＋∞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，11所以f(x)＝f＝－.mineex21－x1设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)＝m(1)＝－，从而对一exe

6、exmaxe12切x∈(0，＋∞)，lnx＞－恒成立．exexB组能力提升1．(2018·黔东南州模拟)已知函数f(x)＝ex＋b在(1，f(1))处的切线为y＝ax.(1)求f(x)的解析式．(2)若对任意x∈R，有f(x)≥kx成立，求实数k的取值范围.(3)证明：对任意t∈(－∞，2]，f(x)＞t＋lnx成立．解：(1)由f′(x)＝ex得k＝f′(1)＝e＝a，所以切线为y＝ex，由切点为(1，e＋b)在切线y＝ex上，b＝0，所以f(x)＝ex，(2)当k＜0时，对于x∈R，ex≥kx显然不恒成立，当k＝0时，ex≥kx显然成立；当k＞0时，若要ex－kx≥0恒成立，必有

7、(ex－kx)≥0min设t(x)＝ex－kx，则t′(x)＝ex－k易知t(x)在(－∞，lnk)上单调递减，在(lnk，＋∞)上单调递增，则t(x)＝k(1－lnk)，min若ex－kx≥0恒成立，即t(x)＝k(1－lnk)≥0，得0＜k≤e，min综上得0≤k≤e.(3)证明：方法一由(1)知ex≥ex成立，构造函数h(x)＝ex－lnx－t(x＞0)(t≤2)，1ex－111h′(x)＝e－＝所以h(x)＝h＝1－ln－t＝2－t≥0(t≤