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《课时作业提升16利用导数证明不等式专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课时作业提升（十六）利用导数证明不等式专题A组夯实基础1.（2018-惠州模拟）已知函数Xx）=x2—（^―2）x—rzlnx（rz^R）.当a=l时，证明：对任意的兀>0,/（x）+ev>x2+x+2.证明：当a=1时，/（x）=x2+x—Inx,要证明fix）+eA>x2+x+2,只需证明ev-lnx-2>0,设g（x）=ev—Inx—2,则问题转化为证明对任意的x>0,g（兀）>0.令g，W=er4=0得e-p蓉易知道该方程有唯一解，不妨设为Xo,则也满足粒0=丄兀0当兀变化时，『（兀）和g（兀）变化情况如
2、下表X(0,M)Xo（应），+8）QW—0+g（兀）极小值7g(x)min=g(xo)=ex()—Inx()—2=—+.¥()—2.因为x()>0,且兀()H1,所以g(x)min>2A/T-2=0,因此不等式得证.2.(2018-蚌埠模拟)已知函数/U)=wev-lnx-l.(1)当加=1时，求曲线y=J(x)在点(1,人1))处的切线方程；(2)当znMl时,证明：(1)ft?:当加=1时，/(x)=ev—In%—1,所以/'(x)=ev——.所以/(l)=e-l,f(l)=e-l.所以曲线y=fix)在点
3、(1,八1))处的切线方程为y-(e-l)=(e-l)(x-l),即y=(e-l)x.⑵证明：当加21时，fix)=7??ex—Inx—1&eA—Inx—1.要证明人兀)>1,只需证明ev-lnx-2>0.设g(x)=ev—Inx—2,则g'(x)=e'—丄.设/?(x)=ev—p则(x)=eA+^>0,所以函数/心)="(尤)=已1—丄在(o,+8)上单调递增.因为g，©=e
4、-2<0,g，(l)=e-l>0,所以函数(兀)=e'—£在(0,+8)上有唯一零点x(),且兀()丘(*,1)因为g‘(xo)=O,所
5、以ex0=—,即lnx()=—x().人0当xe(o,也)时，g‘(x)<0；当xe(Xo,+s)时，g‘U)>0.所以当X=Xq时，g(X)取得最小值g(X0)•故g(x)2g(xo)=exo—lnxo—2=占+也一2>0.久0综上可知，当加N1时，几0>1.3・(2018-南充质检)已知f(x)=xx,=—x2+ax~3.⑴对一切xW(0，+°°)，”W±g(x)恒成立，求实数d的取值范围；12(2)证明：对一切xW(0,+°°),In兀〉—E成立.CD兀3(1)解：由题意知2x}nx^~x2+ax-3对
6、一切xE(0,+8)恒成立，则a^2x+x+^,x__.3r(x+3)(x—1)7殳力(x)=21n兀+兀+一(兀>0),则h(x)=2・①当用(0,1)时，F(x)<0,h(x)单调递减.②当%e(l,+oo)时，(x)>0,饥r)单调递增,所以/zWmi„=/z(l)=4,对一切兀W(0,+oo),织x)3g(x)恒成立，所以aW/2(兀治in=4,即实数Q的取值范一围是(一8,4].Y9(2)证明：问题等价于证明xlnx>"T—7Ue(0,+°°))・CC又y(x)=xlnx,f(x)=lnx+1,当兀
7、丘(0,£)时，f(x)<0,/(x)单调递减；当用(£,+8)时,f(兀)>0,；心)单调递增，所以沧)亦=0=一右x21—X1设7H(X)=^x—-(xe(o,+°°)),则加'(兀)=-^二，易知m(x)max=777(1)=—-从而对一12切兀丘(0,+°°),x>~^——恒成立.B组能力提升1.(2018-黔东南州模拟)己知函数yW=e+在(1,人1))处的切线为y=ax.⑴求沧)的解析式.(2)若对任意xWR,有J[x)2kx成立，求实数R的取值范围.(3)证明：对任意0—8,2],fix)>t+
8、x成立.解：(1)由f(x)=eA得k=f(l)=e=a,所以切线为j?=ex,由切点为(1,e+b)在切线y=ex上，Z?=0,所以夬兀)=『，(2)当RVO时，对于xGR,£2kx显然不恒成立，当£=0时，ex^kx显然成立；当心>0时，若要e~kx^0恒成立，必有(ev-jh)min^0设t(x)=ex—kxf则tr(x)=e‘一R易知心)在(一8,inQ上单调递减,在(Ink,+8)上单调递增,则心)mjn=R(l—InQ,若e'—总20恒成立，即心)min=£(l—In£)20,得0V£We,综上得
9、0WkWw.(3)证明：方法一由(1)知e'^ex成立，构造函数〃(x)=ex—lnx—/(x>0)(fW2),有ex^lnx+r成立(当x=pz=2时取等号).由⑴知eOex成立(当x=l时取等号),所以有e‘>f+lnx成立，即对任意re(-oo,2],^x)>t+x成立.方法二因为rW2,所以要证ev>r+lnx9只须证ev>2+lnx,ixe'—]令/?(x)
