导数复习———利用导数证明不等式之.doc

《导数复习———利用导数证明不等式之.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数复习———利用导数证明不等式之作差构造函数法评测练习1、设为实数，函数(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性并去单调区间、利用导数求函数的最值和极值等基础知识，意在考查考生的分析问题能力解决问题的能力、转化能力、运算求解能力。（1）对求导，从而得到由，判断得出在内单调递减，由，判断得出在内单调递增，从而求出极小值；（2）构造，对求导，研究当且时的单调性，可以得到的最小值大于0即可.详细答案：(1)由，知。令，得于是当变化时，、的变化情况如下表：－＋单调

2、递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为(2)证明：设，于是，由(1)知当时，最小值为于是对任意，都有，所以在内单调递增．于是当时，对任意，都有而，从而对任意，。即，故难度值：本题考查利用导数求函数单调性、极值的基本步骤，同时构造辅助函数证明不等式，属于容易题。62、已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对任意，恒有试题分析：在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，

3、再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，本题中的两个小题都需要作差构造辅助函数，然后转化成利用导数研究函数的单调性，最后得到所要证明的结论，当然部分涉及到对参数的探究。详细答案：(1)令，则有当时，,所以在上单调递减；故当时，即当时，．(2)令，则有当时，,所以在上单调递增,难度值：本题考查导数的简单综合应用，构造简单的辅助函数，利用函数单调性证明结论，属于容易

4、题。3、已知函数.（I）当时，求函数的单调区间；（II）设，且函数在点处的切线为，直线//，且在轴上的截距6为。求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.试题分析：（I）求出函数的导函数，在的条件下列出的单调性与符号的变化情况，即可写出函数的单调区间；（II）首先利用导数的几何意义求出函数在点处的切线为的斜率，从而就可写出直线的方程为；构造函数则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于，再利用导数证明即可.详细答案：（I）解：所以，时，与的变化情况如下：因此，函数的单调递增区间为；单调递减区间位（II）证明

5、：，所以，所以的斜率为因为//，且在轴上的截距为，所以直线的方程为令则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于，而当时，，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减从而当时，取得最大值6即在上，取得最大值，所以因此，无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方难度值：本题涉及到的考点有：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的几何意义；3.利用导数证明不等式．思路清晰，中规中矩，急转弯的地方基本没有，所以难度值为中。4、设函数。（1）当时，函数取得极值，求的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值；（3）当时，关于的方程

6、有唯一实数解，求实数的值．试题分析：（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据在处取得极值，则，求出的值，然后验证即可；（2）由的范围，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数在区间的最大值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解．详细答案：：（1）的定义域为，所以，因为当时，函数取得极值，所以，所以经检验，符合题意．（不检验不扣分）（2），，令，得因为，∴，∴，∴，∴函数在上是增函数，∴当时，。（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数

7、解，设，则，令，因为所以（舍去），。6当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，当时，取最小值．则，即，所以，因为，所以（*），设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得难度值：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，难度值为中．5、已知函数，.（Ⅰ）时，证明：；（Ⅱ），若，求的取值范围.试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值等基础知识，意在考查考生的分析问题能力解决问题的

8、能力、转化能力、运算求解能力。第一问，对求导，再构造函数进行二次求导，通过对的分析，得到的最小值，从而得到，判断得出在内单调递增，从而求出最小值；第二问，构造，对求导，需构造函数进行二次求导，结合第一问的结论，可得在单调递减，然后对进行讨论，证明的最大值小于等于0即可.详细答案：（Ⅰ）令，，在内，，单调递减；在内，，