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1、2006年第2期11命题与解题利用导数证明不等式单(南京师范大学数学与计算机科学学院,210097)导数是研究函数的重要工具,在证明不麻烦.等式时也极为有用.本文拟对此作一些介绍.例2已知x、y、z∈R+.求证:xyz11预备知识≤.①(1+5x)(4x+3y)(5y+6z)(z+18)5120一般地,设函数y=f(x)在某个区间I解:对函数内可导.tf(t)=,t∈R+,a、b、c、d>0(at+b)(ct+d)如果f′(x)>0(x∈I),则f(x)严格递求导得增(x∈I);如果f′(x)<0(x∈I
2、),则f(x)严f′(t)=p[(at+b)(ct+d)-t(2act+bc+ad)]格递减(x∈I).2=p(bd-act).上面结论中的“>”或“<”也可以改为-2-2其中p=(at+b)(ct+d)表示正的“≥”或“≤”,只要等号成立的点不形成一个量.区间.2bd当t<时,f′(t)>0,所以,f(t)严格ac2无条件的不等式2bd递增;当t>时,f′(t)<0,所以,f(t)严格对于无条件的不等式,通常运用上面的ac预备知识即可解决.2bd递减.因此,f(t)在t=时取得最大值sinx2ac例1求
3、+(x∈(0,π))的最2sinxbd1f=.2小值.ac(ad+bc)t2固定y,对x的函数解:由于函数f(t)=+(t∈(0,1])2txg(x)=的导数(1+5x)(4x+3y)212t-4用上面的结果(a=5,b=1,c=4,d=3y)得f′(t)=-2=2<0,2t2tx1≤.②2所以,f(t)严格递减.(1+5x)(4x+3y)(15y+2)5同样,对z的函数有因此,f(t)的最小值为f(1)=.2z1≤.③sinx25(5y+6z)(z+18)(5y+63)2从而,+的最小值为,且在2sin
4、x2所以,由式②、③并对y的函数再一次πx=时取得.用上面的结果得2y本题若不用导数,可用算术—几何平均式①左边≤22(15y+2)(5y+63)不等式求解,但技巧性较高.其他解法则比较2y=收稿日期:2005-05-23(15y+2)(5y+63)12中等数学211例4已知a≥b≥c≥0,且a+b+c=≤=.25120(185+25)222≤273.求证:ab+bc+ca.83条件不等式3证明:在a=b=,c=0时,所证不等2对于某些条件不等式,可以固定其中一式的等号成立.固定b,则c=3-b-a.些变
5、数,化为一元函数,再经过调整得出所需222考虑函数f(a)=ab+bc+ca,有要的结果.这种方法称为“导数调整法”.f(a)递减f′(a)≤0例3已知a、b、c为非负实数,且a+22b+c=1.求证:b-2bc+2ac-a≤0222222≥2.(b-a)(a+b-2c)≤0.(1-a)+(1-b)+(1-c)证明:注意到,在a=1,b=c=0时,所最后的不等式显然成立.所以,f(a)递减.可以使a减小到b证不等式成立.不妨设a≥b≥c.固定b,则3(a+c保持不变),而f(a)一直增加到b+c=1-b-
6、a是a的函数.22bc+cb(c=3-2b).考虑a的函数322222222φ(b)=b+bc+cb递增φ′(b)≥0f(a)=(1-a)+(1-b)+(1-c),2223b+c-4bc+2bc-2b≥0有f(a)递减f′(a)≤0222(b-c)≥0.-a(1-a)+c(1-c)≤022最后一个不等式显然成立.(a-c)(a+ac+c-1)≤022所以,φ(b)递增,a+ac+c-1≤0327(a+c)2≤1.φ(b)≤φ=.28最后的不等式显然成立.所以,f(a)递因此,所证不等式成立.减.可以使a增
7、大c减小(a+c保持不变),3例4的第一步不是将a调整至或将c而f(a)一直减小,直至c减小至0.于是,2222222(1-a)+(1-b)+(1-c)调整至0,而是将a调整至b(然后再继续调2222整).≥(1-a)+(1-b)+1,其中a+b=1.4更复杂的例子2222对函数φ(a)=(1-a)+(1-b)+1(a+b=1)采用同样的做法(前面的c换成例5已知x、y、z∈R+∪{0},且x+yb),可知φ(a)递减.所以,1+z=.求2222φ(a)≥(1-1)+(1-0)+1=2.xyz因此,所证不
8、等式成立.++①4x+14y+14z+1由例3可以看出,导数调整法的步骤是:的最大值.(1)选定目标,也就是不等式中等号成立1(函数取最大值或最小值)的情况;解:易猜到x=y=z=时,式①取最大6(2)固定一些变量,使函数成为一元函33数;值(至少这是最大值的一个“候选52(3)确定调整方向,也就是应证明该一元1者”.另一个候选者是x=,y=z=0时,函函数递增或递减;2(4)利用导数证明函数递增或递减,从而11数的取值.这些
