2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第三章 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式 Word版含解析.pdf

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1、3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式[对应学生用书P43][读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．[对应学生用书P43]利用数学归纳法证明不等式1111[例1]求证：＋＋＋…

2、＋>1(n≥2，n∈N)．nn＋1n＋2n2＋[思路点拨]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为n≥2，n∈N，因此应验证n＝2时不等式成立．＋011113[精解详析](1)当n＝2时，左边＝＋＋＝>1.23412∴n＝2时不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N)时，不等式成立，即1111＋＋＋…＋>1，那么n＝k＋1时，kk＋1k＋2k21111＋＋…＋＋k＋1k＋1＋1k＋12－1k＋12111111＝＋＋…＋＋···＋k＋1k＋2k2k21k22kk＋122k项111111112k＋11＝＋＋＋…＋2＋＋…＋＋－>1

3、＋－＝1＋kk＋1k＋2kk2＋1k2＋2kk＋12kk＋12kk2－k－1，kk＋1219∵k≥2，∴k－22≥4.15∴k2－k－1＝k－22－4≥1>0.k2－k－1∴>0.kk＋12111∴＋＋…＋>1.k＋1k＋1＋1k＋12∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切的n≥2，且n∈N，此不等式都成立．＋利用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形，为满足题目的要求，1111往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“>，…，>”的k2＋1k＋12k2＋2kk＋12放缩变形．1．证明不

4、等式：1111＋＋＋…＋<2n(n∈N)．23n＋证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即1111＋＋＋…＋<2k.23k111112kk＋1＋1∵当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2k＋＝，23kk＋1k＋1k＋12kk＋1＋1现在只需证明<2k＋1，k＋1即证：2kk＋1<2k＋1，两边平方，整理：0<1，显然成立．2kk＋1＋1∴<2k＋1成立．k＋11111即1＋＋＋…＋＋<2k＋1成立．23kk＋1∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立.利用数学归纳法

5、比较大小nn－1[例2]设P＝(1＋x)n，Q＝1＋nx＋x2，n∈N，x∈(－1，＋∞)，试比较P与nn2＋nQ的大小，并加以证明．n[思路点拨]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想P与Qnn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[精解详析](1)当n＝1,2时，P＝Q.nn(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有P>Q.nn②若x＝0，则P＝Q.nn③若x∈(－1,0)，则P－Q＝x3<0，所以P

6、)Q＝Q＋xQk＋1kkkkkk－1x2kk－1x3＝1＋kx＋＋x＋kx2＋22kk＋1kk－1＝1＋(k＋1)x＋x2＋x322kk－1＝Q＋x3

7、数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b＝b，a＝f(b)＝g(b)(nnn1nnn＋1∈N)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N，＋＋a