2019-2020学年数学人教A版选修1-1作业与测评：3.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析.pdf

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1、3．4生活中的优化问题举例课时作业30生活中的优化问题举例知识点一面积、容积最大最小问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面x16－xx116－x积之和为S(x)＝42＋2,00.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．∴当x

2、＝8时，S(x)取最小值，S(x)＝S(8)＝8，即两个正方形面积最小之和的最小值是8，故选D.2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()llA.63πB.33πl1lC.43πD.43π4答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，l－4rll∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr300，∴r＝是其唯一的极值点．6ll当r＝时，V取得最大值，最大值为63π.6知识点二材

3、料最省问题3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米答案A解析设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.512512则所用材料l＝2y＋x＝2y＋(y>0)，求导数，得l′＝2－.yy2令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当016时，l′>0.所以y＝16是函数l＝2y512512＋(y>0)

4、的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.y16所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．故选A.知识点三利润最大问题4.某产品的销售收入y(万元)是产量x(千台)的函数：y＝17x2(x>0)，11生产成本y(万元)是产量x(千台)的函数：y＝2x3－x2(x>0)，为使利润22最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台答案A解析设利润为y，则y＝y－y＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋1218x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的

5、极大值点又是函数的最大值点．5．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8,11]．(2)由于L(x)＝(x－7)(1

6、2－x)2，∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，26令L′(x)＝0得x＝12或x＝，326由于x∈[8,11]，所以取x＝，32626当x∈8，时，L′(x)>0；x∈，11时，L′(x)<0，3326所以当x＝时，L(x)在[8,11]上取得极大值，也是最大值，326500L＝(万元)．32726500故当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是327万元.易错点导数在实际问题中的应用6．如图所示，有一块半椭

7、圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；(2)求S的最大值．易错分析在实际应用问题中需注意变量自身的范围，否则会导致函数没有意义．解(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB为x轴，建立直角坐x2y2标系xOy，则点C的横坐标x，纵坐标y满足方程＋＝1(y≥0)，r24r2解得y＝2r2－x2(0

8、0<

9、x